Question

Задачи на максимум и минимум: 1) Окно имеет форму прямоугольника с полукругом наверху. Периметр окна равен P. Каковы должны быть ширина и высота прямоугольника, чтобы площадь была наибольшей? 2) Сечение шлюзового канала имеет вид прямоугольника, заканчивающегося полукругом. Периметр сечения 45 м. При каком радиусе сечение будет иметь наибольшую площадь ? P.S. Большая просьба, решение как можно подробнее.

Answer 1

Вот решение первой задачи

Answer 2

1. Для нахождения максимальной площади окна с заданным периметром P, мы должны определить ширину и высоту прямоугольной части окна, которая даст максимальную площадь.

Пусть ширина прямоугольника равна x, а высота равна y. Тогда полукруг, образующий верхнюю часть окна, имеет радиус r, который также является y.

Периметр окна состоит из длины прямоугольника и длины полукруга: P = 2x + 2πr

Мы можем выразить r через y, заметив, что радиус полукруга равен высоте прямоугольника: r = y

Теперь мы можем переписать выражение для периметра: P = 2x + 2πy

Чтобы найти максимальную площадь, нам нужно найти x и y, которые удовлетворяют этому уравнению и максимизируют площадь прямоугольной части окна.

Площадь прямоугольной части окна равна S = xy.

Теперь мы можем выразить x через y, используя уравнение для периметра: x = (P - 2πy) / 2

Подставляя это значение x в уравнение для площади, получаем: S = ((P - 2πy) / 2) * y

Раскрывая скобки: S = (Py - 2πy^2) / 2

Теперь у нас есть выражение для площади S в терминах y. Мы можем найти максимальную площадь, найдя значение y, которое максимизирует это выражение.

Для этого мы берем производную от S по y, приравниваем ее к нулю и решаем полученное уравнение: dS/dy = (P/2 - 4πy) = 0

P/2 - 4πy = 0 4πy = P/2 y = P/(8π)

Теперь мы найдем значение y, при котором площадь окна будет наибольшей. Подставляем это значение y обратно в уравнение для x, чтобы найти соответствующее значение x: x = (P - 2πy) / 2

Подставляем y = P/(8π) в это уравнение: x = (P - 2π(P/(8π))) / 2 x = (P - P/4) / 2 x = 3P/8

Таким образом, чтобы получить максимальную площадь окна при заданном пер