Question

Разложите на многожители Х3+х2-4х+2

Answer 1

Ответ:

x³+x²-4x+2=x³-x²+2x²-2x-2x+2=x²(x-1)+2x(x-1)-2(x-1)=(x-1)(x²+2x-2) .

Answer 2

Для разложения полинома $x^3 + x^2 - 4x + 2$ на множители, мы сначала попробуем найти его рациональные корни с использованием теоремы о рациональных корнях (теорема Рациональных корней).

Теорема о рациональных корнях утверждает, что если у полинома с целыми коэффициентами есть рациональные корни $p/q$, то $p$ делится на коэффициент перед старшей степенью полинома, а $q$ делится на коэффициент перед свободным членом полинома.

Для полинома $x^3 + x^2 - 4x + 2$ коэффициент перед старшей степенью (1) и коэффициент перед свободным членом (2), поэтому рациональные корни будут делителями числителей и знаменателей, полученных из всех возможных комбинаций делителей 2 и 1. То есть рациональные корни будут $±1$ и $±2$.

Попробуем подставить эти значения в полином, чтобы найти рациональные корни:

1. При $x = 1$: $1^3 + 1^2 - 4(1) + 2 = 1 + 1 - 4 + 2 = 0$. Значит, $x = 1$ - это корень.

Теперь мы можем разделить исходный полином на $(x - 1)$ с использованием синтетического деления или деления с остатком:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 1 & 1 & 1 & -4 & 2 \\ \hline & & 1 & 2 & -2 \\ \hline & & & 3 & -6 \\ \hline \end{array}$$

После деления получаем: $x^3 + x^2 - 4x + 2 = (x - 1)(x^2 + 2x - 2)$.

Теперь разложим квадратное уравнение $x^2 + 2x - 2$ на множители. Мы можем воспользоваться квадратным уравнением или методом разложения на два множителя:

$x^2 + 2x - 2 = (x - 1)(x + 3)$.

Таким образом, полином $x^3 + x^2 - 4x + 2$ можно разложить на множители следующим образом:

$x^3 + x^2 - 4x + 2 = (x - 1)(x - 1)(x + 3)$.