Question

Докажите что значение выражения 71³-41³ делится на 3ПОМОГИТЕ ​

Answer 1

(71-41)(71^2+71*41+41^2)=30

(71^2+71*41+41^2)

30 делится на 3

Answer 2

Для доказательства того, что значение выражения $71^3 - 41^3$ делится на 3, мы можем воспользоваться свойствами арифметики и алгебры.

Сначала разложим $71^3$ и $41^3$ на множители:

$71^3 = (70 + 1)^3$, а это можно раскрыть с помощью бинома Ньютона:

$71^3 = 70^3 + 3 \cdot 70^2 \cdot 1 + 3 \cdot 70 \cdot 1^2 + 1^3$.

Аналогично,

$41^3 = 40^3 + 3 \cdot 40^2 \cdot 1 + 3 \cdot 40 \cdot 1^2 + 1^3$.

Теперь вычтем $41^3$ из $71^3$:

$71^3 - 41^3 = (70^3 + 3 \cdot 70^2 \cdot 1 + 3 \cdot 70 \cdot 1^2 + 1^3) - (40^3 + 3 \cdot 40^2 \cdot 1 + 3 \cdot 40 \cdot 1^2 + 1^3)$.

Многие члены сократятся:

$71^3 - 41^3 = (70^3 - 40^3) + (3 \cdot 70^2 - 3 \cdot 40^2) + (3 \cdot 70 - 3 \cdot 40) + (1 - 1)$.

Теперь мы видим, что каждый член делится на 3 без остатка:

1. $70^3 - 40^3$ делится на 3, так как разница кубов двух чисел, разделенная на 3, всегда дает целое число.
2. $3 \cdot 70^2 - 3 \cdot 40^2$ делится на 3, так как оба члена содержат множитель 3.
3. $3 \cdot 70 - 3 \cdot 40$ делится на 3, так как оба члена снова содержат множитель 3.
4. $1 - 1 = 0$ точно делится на 3.

Итак, каждый член выражения $71^3 - 41^3$ делится на 3, и следовательно, само выражение также делится на 3.