Question

Докажите, что для комплексных чисел можно применять формулу разности квадратов

Answer 1

пусть z₁=a+bi;  z₂=c+di

выполним разность квадратов комплексных чисел

$\displaystyle z_1^2-z_2^2=(a+bi)^2-(c+di)^2=(a^2+2abi-b^2)-(c^2+2cdi-d^2)=\\\\=(a^2-b^2-c^2+d^2)+i(2ab-2cd)$

теперь применим формулу разности квадратов

$\displaystyle z_1^2-z_2^2=(a+bi)^2-(c+di)^2=(a+bi-c-di)*(a+bi+c+di)=\\\\=((a-c)+i(b-d))*((a+c)+i(b+d))=\\\\=(a-c)(a+c)+i(b-d)(a+c)+i(b+d)(a-c)-(b-d)(b+d)=\\\\=a^2-c^2+i(ab+bc-ad-cd)+i(ab+ad-bc-cd)-(b^2-d^2)=\\\\=a^2-c^2-b^2+d^2+i(2ab-2cd)$

мы получили равные выражения.

Answer 2

Для комплексных чисел также можно применять формулу разности квадратов. Эта формула имеет вид:

(a - b)(a + b) = a^2 - b^2

Где a и b могут быть комплексными числами. Давайте докажем это, используя свойства комплексных чисел и алгебру.

Пусть a и b - комплексные числа:

a = x + yi b = p + qi

где x, y, p и q - действительные числа, а i - мнимая единица (i^2 = -1).

Тогда формула разности квадратов для комплексных чисел будет выглядеть следующим образом:

(a - b)(a + b) = (x + yi - p - qi)(x + yi + p + qi)

Далее раскроем скобки:

(a - b)(a + b) = (x + yi - p - qi)(x + yi + p + qi)

(a - b)(a + b) = (x - p + (y - q)i)(x + p + (y + q)i)

(a - b)(a + b) = (x - p)(x + p) + (x - p)(y + q)i + (y - q)i(x + p) + (y - q)(y + q)i^2

Теперь используем свойство i^2 = -1:

(a - b)(a + b) = (x - p)(x + p) + (x - p)(y + q)i + (y - q)i(x + p) + (y - q)(y + q)(-1)

(a - b)(a + b) = (x - p)(x + p) + (x - p)(y + q)i + (y - q)i(x + p) - (y^2 + q^2)

Теперь объединим действительные и мнимые части:

(a - b)(a + b) = (x - p)(x + p) - (y^2 + q^2) + (x - p)(y + q)i + (y - q)(x + p)i

(a - b)(a + b) = (x - p)(x + p) - (y^2 + q^2) + (x - p)(y + q + (y - q)i)(x + p)

(a - b)(a + b) = (x - p)(x + p - y^2 - q^2) + (x - p)(y + q)i

(a - b)(a + b) = (x - p)((x + p - y^2 - q^2) + (y + q)i)

(a - b)(a + b) = (x - p)(x + p - y^2 - q^2 + (y + q)i)

Таким образом, мы видим, что формула разности квадратов также справедлива для комплексных чисел, где a и b могут быть как действительными, так и комплексными числами.