Question

2. Докажите, что значение выражения: 54³ – 24³ делится на 30​

Answer 1

54³ – 24³ = (54 - 24)(54² + 54 ⋅ 24 + 24²)

Если один из множителей делится на 30, то и другой тоже.

54 - 24 = 30

30 делится на 30. Вот, доказали!

Answer 2

Для доказательства того, что значение выражения $54^3 - 24^3$ делится на 30, мы можем воспользоваться разложением на множители и свойствами деления.

1. Разложим $54^3$ и $24^3$: $54^3 = (3 \cdot 2 \cdot 3)^3 = 3^3 \cdot 2^3 \cdot 3^3 = 3^6 \cdot 2^3$ $24^3 = (3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2)^3 = 3^3 \cdot 2^9$

2. Теперь выразим разность $54^3 - 24^3$ в виде разности двух квадратов: $54^3 - 24^3 = (3^6 \cdot 2^3) - (3^3 \cdot 2^9) = 3^3 \cdot (3^3 \cdot 2^3 - 2^9)$

3. Теперь посмотрим на часть в скобках, $3^3 \cdot 2^3 - 2^9$: $3^3 \cdot 2^3 - 2^9 = 27 \cdot 8 - 512 = 216 - 512 = -296$

4. Мы видим, что $3^3 \cdot 2^3 - 2^9$ делится на 30, так как -296 делится на 30 без остатка (по определению деления). То есть, $-296$ делится на 30.

5. Следовательно, $54^3 - 24^3 = 3^3 \cdot (3^3 \cdot 2^3 - 2^9)$ также делится на 30, так как произведение целого числа (27) на число, которое делится на 30 (по предыдущему шагу), также делится на 30.

Таким образом, значение выражения $54^3 - 24^3$ действительно делится на 30.