Question

1. Арифметична прогресія задана формулою загального члена ап= 32 – 5n . Знайти суму додатних членів цієї прогресі

Answer 1

Арифметическая прогрессия задана формулой общего члена

ап = 32 - 5n. Найти сумму положительных членов этой прогрессии.

1)    $a_n>0$

    $32-5n>0$

    $5n$

     $n$

   $n$∈$N$    =>  $n=6$

2)   $a_1=32-5*1=27$

                    $a_1=27$

3)   $a_6=32-5*6=2$

                    $a_6=2$

4)   $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}*n$

            $n=6$

     $S_6=\frac{27+2}{2}*6=29*3=87$

            $S_6=87$

Вiдповiдь:   $87$

Answer 2

Щоб знайти суму додатних членів арифметичної прогресії, потрібно спочатку знайти значення n, для якого aₙ > 0, тобто перевірити, коли 32 - 5n > 0.

Розв'яжемо нерівність: $32 - 5n > 0.$

Спочатку віднімемо 32 з обох боків: $-5n > -32.$

Тепер поділимо обидві сторони на -5, не забуваючи про зміну напрямку нерівності через ділення на від'ємне число: $n < 6.4.$

Оскільки n має бути цілим числом, то можливі значення n - це 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Тепер знайдемо суму додатних членів прогресії, використовуючи формулу для суми арифметичної прогресії: $S = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n).$

Де $a_1$ - перший член прогресії, $a_n$ - n-й член прогресії.

Підставимо значення a₁ і aₙ в формулу: $a_1 = 32 - 5 \cdot 1 = 27,$ $a_n = 32 - 5 \cdot n.$

Тепер виразимо n-й член для n = 6 (останнє можливе значення n, яке задовольняє умові): $a_6 = 32 - 5 \cdot 6 = 2.$

Тепер підставимо всі значення у формулу для суми: $S = \frac{6}{2} \cdot (27 + 2) = 3 \cdot 29 = 87.$

Отже, сума додатних членів цієї арифметичної прогресії дорівнює 87.