Question

Вычислить f'(0) если f(x) = x - cos х

Answer 1

Ответ:

........................................

Answer 2

Чтобы вычислить производную функции f(x) = x - cos(x) в точке x = 0, используем определение производной:

f'(0) = lim(h -> 0) [(f(0 + h) - f(0)) / h]

Сначала вычислим f(0):

f(0) = 0 - cos(0) = 0 - 1 = -1

Теперь вычислим f(0 + h):

f(0 + h) = h - cos(h)

Теперь подставим эти значения в формулу для производной:

f'(0) = lim(h -> 0) [(h - cos(h) - (-1)) / h]

f'(0) = lim(h -> 0) [(h - cos(h) + 1) / h]

Используя правило Лопиталя (предел отношения производных), мы можем вычислить этот предел:

f'(0) = lim(h -> 0) [1 - (-sin(h))]

Теперь, при h стремящемся к 0, sin(h) также стремится к 0. Поэтому предел будет:

f'(0) = 1 - 0 = 1

Итак, f'(0) = 1.