Question

Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину графіків рівнянь: 1) 4x-y=7 i 3x + 2y = 8; 2) x-2y =-2 i 3x-4y=-2

Answer 1

Ответ:

$1)\ \ \left\{\begin{array}{l}4x-y=7\ |\cdot 2\\3x+2y=8\end{array}\right\ \oplus \ \left\{\begin{array}{l}y=4x-7\\11x=22\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}y=1\\x=2\end{array}\right\ \ \ \ \ (\ 2\ ;\ 1\ )$

$2)\ \ \left\{\begin{array}{l}x-2y=-2\ |\cdot (-3)\\3x-4y=-2\end{array}\right\ \oplus \ \left\{\begin{array}{l}x=2y-2\\2y=4\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}x=2\\y=2\end{array}\right\ \ \ \ \ (\ 2\ ;\ 2\ )$

Answer 2

Ответ:

Для первой пары уравнений координаты пересечения: $(2;1)$, для второй пары: $(2;2)$.

Объяснение:

Нам требуется найти координаты точек пересечения графиков уравнений, без построения самих графиков. Для этого надо объединить два уравнения, которыми заданы графики, и объединить их в систему уравнений:

$\left \{ {{4x-y=7} \atop {3x+2y=8}} \right.$

Данную систему уравнений проще решить методом подстановки одной переменной в другое уравнение. Из первого уравнения выражаем переменную $y$, перенеся её в правую сторону уравнения, а 7 переносим в левую сторону, меняя знак на противоположный:

$4x-y=7\\4x-7=y$

Теперь подставляем значение $y$ во второе уравнение:

$3x+2*(4x-7)=8\\3x+8x-14=8\\3x+8x=8+14\\11x=22\\x=\frac{22}{11}\\x=2$

Теперь находим $y$, подставляя значение $x$ обратно в первое уравнение системы:

$y=4*2-7\\y=8-7\\y=1$

Получаем, что координата точек пересечения этих двух графиков является $(2;1)$.

Таким же способом объединяем другие уравнения в систему уравнений:

$\left \{ {{x-2y=-2} \atop {3x-4y=-2}} \right.$

В данном случае проще выразить $x$ из первого уравнения и подставить данное значение во второе уравнение:

$x-2y=-2\\x=-2+2y\\x=2y-2$

Теперь подставляем данное значение во второе уравнение системы, перенося неизвестные значения в левую сторону, а известные в правую:

$3*(2y-2)-4y=-2\\6y-6-4y=-2\\6y-4y=-2+6\\2y=4\\y=2$

Возвращаемся в уравнение для $x$, подставляя значение $y$, получаем:

$x=2*2-2\\x=4-2\\x=2$

Получили, что координата точек пересечения данных графиков является пара $(2;2)$.

Answer 3

Давайте спробуємо знайти координати точок перетину графіків для кожного з ваших систем рівнянь.

1. Система рівнянь: 4x - y = 7 3x + 2y = 8

Для знаходження точки перетину можемо використовувати метод елімінації. Помножимо перше рівняння на 2, щоб позбутися змінної "y":

Перше рівняння: 8x - 2y = 14 Друге рівняння: 3x + 2y = 8

Тепер додамо обидва рівняння разом:

(8x - 2y) + (3x + 2y) = 14 + 8

Отримаємо:

11x = 22

Тепер поділимо обидві сторони на 11, щоб знайти значення "x":

x = 22 / 11 x = 2

Тепер, знаючи значення "x", можемо підставити його в одне з початкових рівнянь, наприклад, перше рівняння:

4x - y = 7 4 * 2 - y = 7 8 - y = 7

Віднімемо 8 від обох сторін:

-y = 7 - 8 -y = -1

Тепер помножимо обидві сторони на -1, щоб знайти значення "y":

y = 1

Отже, перша точка перетину має координати (2, 1).

2. Система рівнянь: x - 2y = -2 3x - 4y = -2

Для знаходження точки перетину знову можемо використовувати метод елімінації. Помножимо перше рівняння на 2, щоб позбутися змінної "y":

Перше рівняння: 2x - 4y = -4 Друге рівняння: 3x - 4y = -2

Тепер віднімемо перше рівняння від другого:

(3x - 4y) - (2x - 4y) = -2 - (-4)

Отримаємо:

x = 2

Тепер, знаючи значення "x", можемо підставити його в одне з початкових рівнянь, наприклад, перше рівняння:

x - 2y = -2 2 - 2y = -2

Віднімемо 2 від обох сторін:

-2y = -2 - 2 -2y = -4

Тепер помножимо обидві сторони на -1, щоб знайти значення "y":

y = 2

Отже, друга точка перетину має координати (2, 2).

Таким чином, перша точка перетину має координати (2, 1), а друга точка перетину має координати (2, 2) для відповідних систем рівнянь.