Question

Известно, что число (a + 1/a) – целое. Докажите, что число (a⁴ + 1/a⁴) – тоже целое

Answer 1

Ответ:

Вроде так. Но это не точно

Объяснение:

(a+1/a)^4 = a^4 + 4a²·(1/a) + 4a·( 1/a)² +(1/a)^4 = (a^4 +1/a^4 ) + 4(a+1/a)

Answer 2

Для доказательства, что число (a⁴ + 1/a⁴) является целым, давайте воспользуемся методом математической индукции.

Пусть у нас есть число (a + 1/a), которое является целым. Это означает, что a + 1/a = k, где k - целое число.

Теперь давайте докажем, что (a⁴ + 1/a⁴) также является целым числом.

Шаг 1: Для начала докажем базовый случай, когда n = 1: (a² + 1/a²) = (a⁴ + 1/a⁴) = a² + 2 + 1/a²

Мы уже знаем, что (a + 1/a) = k, поэтому a² + 1/a² = k² - 2.

Таким образом, базовый случай доказан.

Шаг 2: Теперь предположим, что для некоторого целого числа m (m ≥ 1) выполняется (a^(2m) + 1/a^(2m)) = k_m, где k_m - целое число.

Шаг 3: Докажем, что тогда (a^(2m+2) + 1/a^(2m+2)) также является целым числом.

Рассмотрим выражение: (a^(2m+2) + 1/a^(2m+2)) = a² * a^(2m) + 1/(a² * a^(2m))

Мы знаем, что a^(2m) = (a^(2m) + 1/a^(2m)) - 1, по предположению индукции, это целое число. Таким образом, a^(2m) - 1 также целое число.

Исходное утверждение (a + 1/a = k) означает, что a² - 2 = k, поэтому a² = k + 2. Также, 1/a² = k - 2.

Тогда a² * a^(2m) = (k + 2) * (a^(2m) - 1) и 1/(a² * a^(2m)) = (k - 2) / (a^(2m) - 1).

Поскольку k, a^(2m), и 1 являются целыми числами, то (k + 2) * (a^(2m) - 1) и (k - 2) / (a^(2m) - 1) также являются целыми числами.

Таким образом, мы доказали, что если (a^(2m) + 1/a^(2m)) является целым числом для некоторого m, то и (a^(2m+2) + 1/a^(2m+2)) также является целым числом.

Исходя из метода математической индукции, мы можем утверждать, что (a⁴ + 1/a⁴) также является целым числом, так как мы начали с базового случая (a² + 1/a²) и продвигались вперед с помощью индукции.