Question

Известно, что a + 1/а - целое число. Докажите, что а^3 + 1/a^3 - тоже целое число.

Answer 1

(a+1/a)³ = a³ + 3a²·(1/a) + 3a·(1/a)² +(1/a)³ = (a³+1/a³) + 3(a+1/a)
     ↓                                                                  ↓                 ↓
 целое                                                            целое        целое

Answer 2

Для доказательства того, что a^3 + 1/a^3 является целым числом, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

База индукции:

Для a = 1, a^3 + 1/a^3 = 1 + 1/1 = 2, что является целым числом.

Предположение индукции:

Предположим, что для некоторого целого числа a, a^3 + 1/a^3 является целым числом.

Шаг индукции:

Докажем, что если предположение индукции выполняется для a, то оно также выполняется для a + 1.

Рассмотрим выражение (a + 1)^3 + 1/(a + 1)^3: ``` (a + 1)^3 + 1/(a + 1)^3 = (a^3 + 3a^2 + 3a + 1) + 1/(a^3 + 3a^2 + 3a + 1) = a^3 + 1/a^3 + 3a^2 + 3a + 1 + 1/(a^3 + 3a^2 + 3a + 1) ```

Мы знаем, что a^3 + 1/a^3 является целым числом (по предположению индукции), а 3a^2 + 3a + 1 является целым числом, так как сумма, разность и произведение целых чисел также являются целыми числами.

Таким образом, a^3 + 1/a^3 + 3a^2 + 3a + 1 + 1/(a^3 + 3a^2 + 3a + 1) является целым числом.

Исходя из базы индукции и шага индукции, мы можем заключить, что a^3 + 1/a^3 является целым числом для любого целого числа a.

Важно отметить, что данное доказательство основано на предположении, что a является целым числом. Если a является рациональным числом, то доказательство может быть иным.