Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y= 6-x^2 и y= 3x+2​

Answer 1

Ответ: 125/6

Решение:

в файле

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя функциями, вам нужно найти точки их пересечения и затем вычислить интеграл от разности этих функций между этими точками. Площадь будет равна абсолютной величине этого интеграла. Давайте найдем точки пересечения:

Уравнения:

1. y = 6 - x^2
2. y = 3x + 2

Чтобы найти точки пересечения, приравняем эти уравнения друг к другу:

6 - x^2 = 3x + 2

Теперь решим это уравнение для x:

x^2 + 3x - 4 = 0

Теперь факторизуем это уравнение:

(x + 4)(x - 1) = 0

Отсюда получаем два значения x:

1. x = -4
2. x = 1

Теперь, чтобы найти соответствующие значения y, подставим эти x обратно в оба уравнения:

Для x = -4:

1. y = 6 - (-4)^2 = 6 - 16 = -10
2. y = 3(-4) + 2 = -12 + 2 = -10

Для x = 1:

1. y = 6 - 1^2 = 6 - 1 = 5
2. y = 3(1) + 2 = 3 + 2 = 5

Теперь у нас есть две точки пересечения: (-4, -10) и (1, 5). Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, ограниченной этими двумя кривыми, с помощью интеграла:

Площадь = ∫[a, b] |(3x + 2) - (6 - x^2)| dx, где a = -4 и b = 1

Площадь = ∫[-4, 1] |3x + 2 - 6 + x^2| dx

Площадь = ∫[-4, 1] |x^2 + 3x - 4| dx

Теперь найдем абсолютное значение этого интеграла:

Площадь = ∫[-4, 1] |x^2 + 3x - 4| dx = ∫[-4, 1] |(x + 4)(x - 1)| dx

Теперь мы разделим интеграл на два:

Площадь = ∫[-4, 1] |x + 4| |x - 1| dx

Теперь мы можем вычислить этот интеграл. Так как у нас есть две области (от -4 до -1 и от -1 до 1), мы вычислим интеграл для каждой из них:

1. Для отрезка от -4 до -1: Площадь = ∫[-4, -1] (-x - 4)(x - 1) dx

2. Для отрезка от -1 до 1: Площадь = ∫[-1, 1] (x + 4)(x - 1) dx

Теперь вычислим оба эти интеграла.