Question

Интеграл x^2*e^x*dx желательно подробное решение

Answer 1

Ответ:

метод интегировантя по частям

/udv= uv -/vdu

u = x^2

du = 2xdx

dv= e^xdx

v = e^x

x^2*e^x-/e^x*2xdx=x^2*e^x-2/e^x*xdx

опять метод интегрирования по частям для /e^x*xdx

u=x

du=1

dv= e^xdx

v=e^x

/e^x*xdx= xe^x-/e^x =x*e^x-e^x

x^2*e^x-2/e^x*xdx=x^2e^x-2(xe^x-e^x)=

e^x(x^2-2x+2)

Answer 2

Конечно, давайте проинтегрируем функцию $x^2 e^x$ по переменной $x$ с помощью метода интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид:

$$\int u \, dv = u \, v - \int v \, du,$$

где $u$ и $v$ - это функции, которые выбираются таким образом, чтобы интеграл $\int v \, du$ был легко вычислим. В данном случае давайте выберем:

$u = x^2$, $dv = e^x \, dx$.

Тогда вычислим производные и неопределенный интеграл:

$du = 2x \, dx$, $v = \int e^x \, dx = e^x$.

Теперь подставим эти значения в формулу интегрирования по частям:

$$\int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int 2x e^x \, dx.$$

Теперь у нас есть новый интеграл, который нужно вычислить: $\int 2x e^x \, dx$. Для его вычисления также применим метод интегрирования по частям. Выберем:

$u = 2x$, $dv = e^x \, dx$,

$du = 2 \, dx$, $v = e^x$.

Применим формулу интегрирования по частям к этим функциям:

$$\int 2x e^x \, dx = 2x e^x - \int 2 e^x \, dx.$$

Интегрируем последний член:

$$\int 2 e^x \, dx = 2 e^x.$$

Теперь подставим это значение обратно в исходный интеграл:

$$\int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - (2x e^x - 2e^x) + C,$$

где $C$ - постоянная интеграции.

Таким образом, неопределенный интеграл функции $x^2 e^x \, dx$ равен:

$$x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C.$$