Question

Определите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма ее членов с нечетными номерами вдвое больше, чем сумма всех ее членов

Answer 1

Пусть $b_1$ - первый член данной прогрессии, а $q$ - ее знаменатель.

Тогда, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

$S=\dfrac{b_1}{1-q}$

Рассмотрим члены этой прогрессии с нечетными номерами. Это также геометрическая прогрессия с первым членом $b_1$ и знаменателем $q^2$, причем геометрическая прогрессия бесконечно убывающая.

Сумма этой бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

$S=\dfrac{b_1}{1-q^2}$

По условию эта сумма вдвое больше, чем предыдущая:

$\dfrac{b_1}{1-q^2}=2\cdot\dfrac{b_1}{1-q}$

$\dfrac{b_1}{(1-q)(1+q)}=\dfrac{2b_1}{1-q}$

$b_1(1-q)=2b_1(1-q)(1+q)$

Поскольку $b_1\neq 0$ и $q\neq 1$, то сократим:

$1=2(1+q)$

$1+q=\dfrac{1}{2}$

$q=-\dfrac{1}{2}$

Ответ: -1/2

Answer 2

Для определения знаменателя бесконечно убывающей геометрической прогрессии (БУГП) воспользуемся следующими формулами:

Сумма всех членов БУГП: $S = \frac{a}{1-r},$

где $a$ - первый член прогрессии, $r$ - знаменатель прогрессии (модуль значения $r$ должен быть меньше 1).

Сумма членов с нечетными номерами: $S_{\text{нечет}} = a + ar^2 + ar^4 + ar^6 + \ldots = \frac{a}{1-r^2}.$

Условие гласит, что сумма членов с нечетными номерами вдвое больше суммы всех членов: $S_{\text{нечет}} = 2S.$

Подставим выражения для $S_{\text{нечет}}$ и $S$ и решим уравнение относительно $r$:

$\frac{a}{1-r^2} = 2 \cdot \frac{a}{1-r}.$

Сократим $a$ и умножим обе стороны на $1-r$ и получим:

$1 - r^2 = 2(1 - r).$

Раскроем скобки и приведем подобные:

$1 - r^2 = 2 - 2r.$

Переносим все члены уравнения влево:

$r^2 - 2r - 1 = 0.$

Это квадратное уравнение можно решить с помощью квадратного корня или других методов. Решение этого уравнения даст нам значения знаменателя $r$ для удовлетворения условию задачи.