Question

. На графике функции у=(x-1)" найдите точку, расстояние от которой до точки M(5; 3. 5) является наименьшим. Найдите это расстояние

Answer 1

Ответ: 0,354 единицы. См фото.

Объяснение:

Answer 2

Для нахождения точки на графике функции у=(x-1)^n, расстояние от которой до точки M(5, 3.5) является наименьшим, мы можем использовать метод дифференциального исчисления. Расстояние между двумя точками в декартовой плоскости можно выразить с помощью формулы расстояния:

d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

В данном случае, M(5, 3.5) является фиксированной точкой, а (x, (x-1)^n) - точкой на графике функции. Нашей задачей является минимизация этой функции расстояния по переменной x, то есть поиск минимума функции:

d = √((x - 5)^2 + ((x-1)^n - 3.5)^2)

Для нахождения минимума этой функции используем дифференциальное исчисление. Сначала найдем производную функции d по x и приравняем ее к нулю, чтобы найти точку, в которой производная равна нулю:

d'(x) = 0

Теперь продифференцируем функцию d:

d(x) = √((x - 5)^2 + ((x-1)^n - 3.5)^2)

d'(x) = 0.5 * (x - 5) * (2 * (x - 5) + 2 * n * (x-1)^(n-1) * (x-1))

Уравнение d'(x) = 0:

0.5 * (x - 5) * (2 * (x - 5) + 2 * n * (x-1)^(n-1) * (x-1)) = 0

Рассмотрим два случая:

1. x - 5 = 0 (первый множитель равен нулю)

   В этом случае x = 5.

2. 2 * (x - 5) + 2 * n * (x-1)^(n-1) * (x-1) = 0 (второй множитель равен нулю)

   Решим это уравнение для x:

   2 * (x - 5) + 2 * n * (x-1)^(n-1) * (x-1) = 0

   2 * (x - 5) = -2 * n * (x-1)^(n-1) * (x-1)

   (x - 5) = -n * (x-1)^(n-1) * (x-1)

   Решение этого уравнения может быть сложным, особенно для больших значений n. В этом случае вам потребуется численное решение. Вы можете использовать численные методы, такие как метод Ньютона, чтобы найти значения x, при которых d'(x) = 0.

После нахождения значений x, которые удовлетворяют уравнению d'(x) = 0, вы можете подставить их обратно в исходную формулу для d, чтобы найти соответствующие значения d и выбрать ту точку, для которой d является наименьшим.