Question

Одна из двух дробей вдвое больше другой. После возведения каждой из дробей в квадрат и сложения этих результатов получается некоторая сумма. Та же сумма получается после возведения каждой из дробей в куб и сложения этих результатов. Найти данные дроби. Может быть как-то так:

Answer 1

Ответ:5/9

Объяснение:

Answer 2

Давайте обозначим эти две дроби как $\frac{a}{b}$ и $\frac{2a}{b}$, где $a$ и $b$ - целые числа и $b \neq 0$.

Сначала мы можем записать уравнение на основе суммы квадратов дробей:

$$\left(\frac{a}{b}\right)^2 + \left(\frac{2a}{b}\right)^2 = S \quad \text{(1)}$$

Где $S$ - сумма после возведения в квадрат и сложения. Теперь выразим $S$ из этого уравнения:

$$\left(\frac{a}{b}\right)^2 + \left(\frac{2a}{b}\right)^2 = S$$

$$\frac{a^2}{b^2} + \frac{4a^2}{b^2} = S$$

$$\frac{a^2 + 4a^2}{b^2} = S$$

$$\frac{5a^2}{b^2} = S \quad \text{(2)}$$

Теперь мы можем записать уравнение для суммы после возведения в куб и сложения:

$$\left(\frac{a}{b}\right)^3 + \left(\frac{2a}{b}\right)^3 = S \quad \text{(3)}$$

Где $S$ - сумма после возведения в куб и сложения. Теперь выразим $S$ из этого уравнения:

$$\left(\frac{a}{b}\right)^3 + \left(\frac{2a}{b}\right)^3 = S$$

$$\frac{a^3}{b^3} + \frac{8a^3}{b^3} = S$$

$$\frac{a^3 + 8a^3}{b^3} = S$$

$$\frac{9a^3}{b^3} = S \quad \text{(4)}$$

Теперь у нас есть два уравнения (2) и (4), описывающих сумму после возведения дробей в квадрат и куб и сложения. Давайте приравняем их:

$$\frac{5a^2}{b^2} = \frac{9a^3}{b^3}$$

Теперь мы можем упростить это уравнение, умножив обе стороны на $b^3$:

$$5a^2 = 9a^3$$

Теперь разделим обе стороны на $a^2$ (помните, что $a$ не равно нулю):

$$5 = 9a$$

Теперь найдем значение $a$:

$$a = \frac{5}{9}$$

Теперь, имея значение $a$, мы можем найти значение $b$ из уравнения (2):

$$\frac{5\left(\frac{5}{9}\right)^2}{b^2} = S$$

$$\frac{25}{81b^2} = S$$

Теперь найдем значение $b$:

$$b^2 = \frac{25}{81S}$$