Question

Помогитееее Найти минимум,максимум функции y=x²(1-x)⁴ ответ минимум(0;0) (1;0) максимум (1/3;16/729)

Answer 1

Ответ:

$y=x^2(1-x)^4\\\\y'=2x(1-x)^4+x^2\cdot 4(1-x)^3\cdot (-1)=2x(1-x)^4-4x^2(1-x)^3=\\\\=2x\, (1-x)^3\cdot (1-x-2x)=2x(1-x)^3\cdot (1-3x)=2x\, (x-1)^3(3x-1)=0\\\\x_1=0\ \ ,\ \ x_2=1\ ,\ \ x=\dfrac{1}{3}\\\\znaki\ y'(x):\ \ \ ---(0)+++(\dfrac{1}{3})---(1)+++\\{}\qquad \qquad \qquad \quad \ \ \searrow \, \ (0)\ \ \nearrow \ \ \ (\dfrac{1}{3})\ \ \searrow \ \ \ (1)\ \ \nearrow \\{}\qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \ (min)\ \ \ \ \ \ (max)\ \ \ \ \ \ (min)\\\\y(min)=y(0)=0\ \ \ ,\ \ \ \ \ y(min)=y(1)=0\ \ ,$

$y(max)=y\Big(\dfrac{1}{3}\Big)=\dfrac{1}{9}\cdot \Big(1-\dfrac{1}{3}\Big)^4=\dfrac{1}{9}\cdot \dfrac{16}{81}=\dfrac{16}{729}$

Answer 2

Давайте найдем минимум и максимум функции $y = x^2(1 - x)^4$.

1. Сначала найдем производную функции $y$ по $x$: $y'(x) = 2x(1 - x)^4 - 4x^2(1 - x)^3$

2. Чтобы найти критические точки (где производная равна нулю или не существует), приравняем $y'(x)$ к нулю и решим уравнение: $2x(1 - x)^4 - 4x^2(1 - x)^3 = 0$

3. После упрощения уравнения получим: $2x(1 - x)^3(1 - 2x) = 0$

Это уравнение имеет три корня: $x = 0$, $x = 1$, и $x = 1/2$.

4. Теперь найдем вторую производную $y''(x)$: $y''(x) = 2(1 - x)^3 - 12x(1 - x)^2 - 12x(1 - x)^2 + 24x^2(1 - x)$

5. Для исследования природы критических точек определим знак второй производной в окрестностях каждой критической точки.

• Для $x = 0$: $y''(0) = 2$, что говорит нам о том, что это точка минимума.
• Для $x = 1$: $y''(1) = 2$, что также говорит о том, что это точка минимума.
• Для $x = 1/2$: $y''(1/2) = -2$, что говорит о том, что это точка максимума.

Итак, минимумы функции $y = x^2(1 - x)^4$ находятся в точках (0,0) и (1,0), а максимум находится в точке $(1/2, 16/729)$. Ваши ответы были верны.