Question

1. Найдите значение выражения: (√80+√(125 )-3√20)/(√10 •√125: √50)

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \frac{3\sqrt{5} }{5}$

Объяснение:

Для любых действительных чисел a и b таких, что a ≥0 и b≥0 выполняются равенства

$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\\ (\sqrt{a})^2=a$

$\displaystyle \frac{(\sqrt{80}+\sqrt{125})-3\sqrt{20} }{\sqrt{10}*\sqrt{125}:\sqrt{50} }$

Вычислим значение в числителе:

Разложим подкоренные выражения на множители:

$\displaystyle \sqrt{16*5}+\sqrt{25*5}-3\sqrt{4*5}=4\sqrt{5} +5\sqrt{5}-3*2\sqrt{5}=(4+5-6)\sqrt{5}=3\sqrt{5}$

Теперь вычислим значение знаменателя:

$\displaystyle \sqrt{2*5}*\sqrt{25*5}:\sqrt{25*2}= \frac{\sqrt{2}*\sqrt{5}*5\sqrt{5} }{5\sqrt{2} } =(\sqrt{5})^2=5$

Значение выражения:

$\displaystyle \frac{3\sqrt{5} }{5}$

Answer 2

Давайте разберем это выражение по шагам.

1. Начнем с вычисления корней. - √80 = 8√5, так как 80 = 16 * 5, и корень из 16 равен 4. - √(125+√20) = √(125+2√5), так как 20 = 4 * 5, и корень из 4 равен 2.

После замены корней, наше выражение становится: (8√5 + √(125+2√5) - 3√20) / (√10 + √125 + √50)

2. Теперь упростим числители и знаменатели. Числитель: - (8√5 + √(125+2√5) - 3√20) = (8√5 + √125 + 2√5 - 3√20) Мы объединили слагаемые √(125+2√5) посредством раскрытия скобок.

Знаменатель: - (√10 + √125 + √50) = (√10 + √(25*5) + √(25*2)) Мы разложили числа 125 и 50 на их множители.

Теперь наше выражение выглядит так: (8√5 + √125 + 2√5 - 3√20) / (√10 + √(25*5) + √(25*2))

3. Продолжим упрощение. Числитель: - (8√5 + √125 + 2√5 - 3√20) = (8√5 + √125) + (2√5 - 3√20) Мы разбили числитель на две группы, чтобы упростить его дальше.

Знаменатель: - (√10 + √(25*5) + √(25*2)) = (√10 + √25√5 + √25√2) Мы воспользовались свойством корня из произведения для разложения √125 и √50.

Теперь наше выражение имеет вид: ((8√5 + √125) + (2√5 - 3√20)) / (√10 + √25√5 + √25√2)

4. Продолжим упрощение дальше. Числитель: - (8√5 + √125) + (2√5 - 3√20) = 8√5 + √125 + 2√5 - 3√20 Мы объединили слагаемые в числителе, удалив скобки.

Знаменатель: - (√10 + √25√5 + √25√2) = √10 + 5√5 + 5√2 Мы вычислили корень из 25 и применили свойство корня из произведения.

Теперь наше выражение принимает вид: (8√5 + √125 + 2√5 - 3√20) / (√10 + 5√5 + 5√2)

5. Упростим числитель и знаменатель. Числитель: - 8√5 + √125 + 2√5 - 3√20 = 10√5 - 3√20 + √125 Мы объединили слагаемые с одинаковыми радикалами.

Знаменатель остается неизменным: - √10 + 5√5 + 5√2

Теперь наше выражение выглядит так: (10√5 - 3√20 + √125) / (√10 + 5√5 + 5√2)

6. Упростим выражение дальше. Числитель: - 10√5 - 3√20 + √125 = 10√5 - 3√(4*5) + √(25*5) Мы разложили 20 на множители и вычислили корни.

Знаменатель: - √10 + 5√5 + 5√2

Теперь наше выражение принимает вид: (10√5 - 3√(4*5) + √(25*5)) / (√10 + 5√5 + 5√2)

7. Упростим числитель и знаменатель. Числитель: - 10√5 - 3√(4*5) + √(25*5) = 10√5 - 6√5 + 5√5 Мы упростили выражения под корнями.

Знаменатель: - √10 + 5√5 + 5√2

Теперь наше выражение имеет вид: (10√5 - 6√5 + 5√5) / (√10 + 5√5 + 5√2)

8. Упростим числитель и знаменатель окончательно. Числитель: - 10√5 - 6√5 + 5√5 = 9√5 Мы объединили слагаемые с одинаковыми радикалами.

Знаменатель: - √10 + 5√5 + 5√2

Теперь наше выражение принимает вид: 9√5 / (√10 + 5√5 + 5√2)

Таким образом, значение данного выражения равно 9√5 / (√10 + 5√5 + 5√2).