Question

Экскаватору необходимо было вырыть траншею определённой длины. В первый день было вырыто 5 метров, а в каждый последующий день длина вырытой траншеи была в 2 раза больше, чем в предыдущий. С помощью формул геометрической прогрессии определите всю длину вырытой траншеи, если известно, что работа была закончена за 5 дней.

Answer 1

Ответ:

155 метров

Объяснение:

b1 =5 (5 метров первый элемент геометрической прогрессий)

q=2 (знаменатель геометрической прогрессии)

n = 5 (число элементов последовательности)

$S_{n} = \frac{b1*(q^{n}-1) }{q-1}$

$S_{5} = \frac{5*(2^{5}-1)}{2-1}$= 5*31=155

Проверка на пальцах

1ый день 5

2ой день 10

3ий день 20

4ый  день 40

5ый день 80

В сумме как раз 155

Answer 2

Давайте обозначим длину траншеи на первый день как \( a \). Тогда на второй день длина траншеи будет \( 2a \), на третий день \( 2 \cdot 2a \), и так далее.

Мы знаем, что работа была завершена за 5 дней. Таким образом, у нас есть геометрическая прогрессия с 5 членами. Формула суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии задается формулой:

\[ S_n = a_1 \frac{(q^n - 1)}{(q - 1)}, \]

где \( a_1 \) - первый член прогрессии, \( q \) - знаменатель прогрессии, \( n \) - количество членов.

В данном случае у нас 5 дней работы, так что \( n = 5 \).

Мы знаем, что на первый день было вырыто 5 метров, поэтому \( a_1 = 5 \).

Длина траншеи на второй день - \( 2a \), на третий день - \( 2 \cdot 2a \), и так далее. Таким образом, знаменатель прогрессии \( q = 2 \).

Подставим все значения в формулу:

\[ S_5 = 5 \frac{(2^5 - 1)}{(2 - 1)} \]

\[ S_5 = 5 \frac{(32 - 1)}{1} \]

\[ S_5 = 5 \cdot 31 = 155 \]

Таким образом, общая длина траншеи, вырытой за 5 дней, составляет 155 метров.