Question

√(12+6√3). Вычислить с объяснением

Answer 1

$\sqrt{12+6\sqrt{3} }=\sqrt{9+3+6\sqrt{3} }=\sqrt{9+6\sqrt{3}+3}=\sqrt{(3+\sqrt{3})^{2} } =3+\sqrt{3}$

При решении сначала представляем $12$ как $9+3$, после чего замечаем, что ${9+6\sqrt{3}+3}$ подходит под формулу $a^{2}+2ab+b^{2}$, что равно $(a+b)^{2}$. Извлекаем корень и получаем ответ.

Answer 2

Конечно, давайте вычислим выражение \( \sqrt{12 + 6\sqrt{3}} \) с подробным объяснением.

Дано: \( \sqrt{12 + 6\sqrt{3}} \)

Мы видим, что подкоренное выражение имеет форму \( a + 2\sqrt{b} \), где \( a = 12 \) и \( b = 3 \). Такие выражения можно представить в виде суммы двух квадратных корней.

1. Сначала выразим \( 12 + 6\sqrt{3} \) в виде \( a^2 + 2ab + b^2 \): \[ 12 + 6\sqrt{3} = (a + b\sqrt{3})^2 \]

Сравниваем коэффициенты и получаем систему уравнений: \[ a^2 + 3b^2 = 12 \] \[ 2ab = 6 \]

2. Решим систему уравнений:

Из второго уравнения получаем, что \( ab = 3 \). Подставим это значение в первое уравнение:

\[ a^2 + 3b^2 = 12 \] \[ a^2 + 3(3)^2 = 12 \] \[ a^2 + 27 = 12 \] \[ a^2 = -15 \]

Это уравнение не имеет решения в действительных числах, но мы видим, что коэффициенты должны быть комплексными числами.

3. Теперь представим \( a + b\sqrt{3} \) в виде квадратного корня:

\[ a + b\sqrt{3} = \sqrt{a^2 + 3b^2} + b\sqrt{3}i \] \[ = \sqrt{-15} + 3i \sqrt{3} \]

Итак, \[ \sqrt{12 + 6\sqrt{3}} = \sqrt{-15} + 3i \sqrt{3} \].

Здесь \( i \) - мнимая единица, так что ответ представляет собой комплексное число.