Question

Сколько существует способов из 15 спортсменов отобрать команду, в которую будет входить 5 игроков С решением пожалуйста

Answer 1

Ответ:

3003 способами

Объяснение:

Задачу можно решить различными способами.

1-способ. Первого игрока команды можно выбрать среди 15 спортсменов, то есть 15 способами. Второго игрока команды можно выбрать среди оставшийся 14 спортсменов, то есть 14 способами. Точно также, третьего игрока команды можно выбрать 13 способами, четвёртого игрока команды можно выбрать 12 способами, и наконец, пятого игрока команды можно выбрать 11 способами.

Однако каждая команда при этом подсчете учтена несколько раз: одна и та же пятёрка спортсменов может быть выбрана по разному, например, сначала А, потом В, потом С, потом D, потом E, или сначала B, потом А, потом C, потом D, потом E и так далее. Поскольку число перестановок из пяти элементов равно 5!=120, то каждая команда учтена нами ровно 120 раз. Поэтому получается, что команду из 5 игроков можно выбрать

15·14·13·12·11/120 = 360360/120 = 3003 способами.

2-способ. Применим формулу комбинаторики.

Определение. Пусть имеется множество, содержащее n элементов. Произвольный неупорядоченный набор, состоящий из k различных элементов данного множества, называется сочетанием из n элементов по k элементов (или просто сочетанием из n по k).  

Число сочетаний из n элементов по k элементов обозначается $\tt C_n^k$ и вычисляется по формуле:

$\displaystyle \tt C_n^k = \dfrac{n!}{k! \cdot (n-k)!} .$

Так как n = 15 и k = 5, то

$\displaystyle \tt C_{15}^5 = \dfrac{15!}{5! \cdot (15-5)!} =\dfrac{10! \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15}{5! \cdot 10!} =\dfrac{11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} =3003.$

Answer 2

Чтобы определить количество способов выбрать команду из 15 спортсменов, включающую 5 игроков, можно использовать комбинаторику, а именно формулу для сочетаний.

Сочетание (или комбинация) из n элементов по k элементов определяется формулой:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где "!" обозначает факториал. Факториал числа n обозначается n! и представляет собой произведение всех положительных целых чисел от 1 до n.

В данном случае n = 15 (всего спортсменов) и k = 5 (количество игроков в команде). Таким образом, формула будет следующей:

\[ C(15, 5) = \frac{15!}{5!(15-5)!} \]

Вычислим значения факториалов и подставим их в формулу:

\[ C(15, 5) = \frac{15!}{5! \cdot 10!} \]

\[ C(15, 5) = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10!}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 10!} \]

\[ C(15, 5) = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \]

\[ C(15, 5) = 3003 \]

Таким образом, существует 3003 способа отобрать команду из 15 спортсменов, включая 5 игроков.