Question

Исследуйте функцию на четность f(x) =2ctgx-6x​

Answer 1

$f(x) =2\mathrm{ctg}\,x-6x$

Найдем область определения функции. Так как котангенс определен для всех чисел, кроме чисел вида $x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$, то область определения функции:

$x\in(\pi n;\ \pi+\pi n) ,\ n\in\mathbb{Z}$

Заметим, что область определения функции является множеством, симметричным относительно 0. Значит, данная функция может быть четной, нечетной или ни четной, ни нечетной (функцией общего вида).

Справедливо соотношение:

$\mathrm{ctg}\,(-x)=\dfrac{\sin(-x)}{\cos(-x)} =\dfrac{-\sin x}{\cos x} =-\mathrm{ctg}\,x$

Рассмотрим выражение $f(-x)$:

$f(-x) =2\mathrm{ctg}\,(-x)-6\cdot(-x)=-2\mathrm{ctg}\,x+6x=-(2\mathrm{ctg}\,x-6x)=-f(x)$

Так как выполняется условие $f(-x) =-f(x)$, то функция является нечетной.

Answer 2

Функция f(x) = 2ctg(x) - 6x.

Для исследования функции на четность, мы должны проверить, выполняется ли условие f(x) = f(-x).

Сначала заменим x на -x и получим: f(-x) = 2ctg(-x) - 6(-x) = 2ctg(-x) + 6x

Теперь сравним f(x) и f(-x): f(x) = 2ctg(x) - 6x f(-x) = 2ctg(-x) + 6x

Мы видим, что f(x) ≠ f(-x), поэтому функция не является четной.

Таким образом, функция f(x) = 2ctg(x) - 6x не является четной.