Question

1.исследуйте функцию на четность а) f(x) = x² sin3x б) f(x) = |ctgx| + cos x в) f(x) = х^6\2 - sin x 2.исследуйте функцию у=|ctg x| +cos x на периодичность, укажите основной период. (помогите пожалуйста ((

Answer 1

А) функция нечетная б) функция четная в)функция ни четная ни нечетная.

Answer 2

Давайте разберемся с каждой из данных функций.

1. Исследование функций на четность:

a) \( f(x) = x^2 \sin(3x) \)

Для определения четности функции, нужно проверить, выполняется ли условие \( f(x) = f(-x) \) для любого \( x \) из области определения функции.

Подставим \(-x\) вместо \(x\): \[ f(-x) = (-x)^2 \sin(3(-x)) = x^2 \sin(-3x) \]

Теперь сравним с исходной функцией: \[ f(x) = x^2 \sin(3x) \]

Так как \(\sin(-\theta) = -\sin(\theta)\), мы можем записать: \[ f(-x) = -x^2 \sin(3x) \]

Условие четности \(f(x) = f(-x)\) выполняется только в том случае, если \(\sin(3x) = -\sin(3x)\), что не верно для всех \(x\). Следовательно, функция \(f(x) = x^2 \sin(3x)\) не является четной.

б) \( f(x) = | \cot(x) | + \cos(x) \)

Для функции с абсолютным значением, четность обычно проверяется отдельно для положительных и отрицательных значений.

1. Для положительных \(x\): \[ f(x) = \cot(x) + \cos(x) \]

2. Для отрицательных \(x\): \[ f(-x) = \cot(-x) + \cos(-x) \]

Заметим, что \(\cot(-x) = -\cot(x)\) и \(\cos(-x) = \cos(x)\): \[ f(-x) = -\cot(x) + \cos(x) \]

Сравним \(f(x)\) и \(f(-x)\): \[ f(x) \neq f(-x) \]

Таким образом, функция \(f(x) = | \cot(x) | + \cos(x)\) не является четной.

в) \( f(x) = \frac{x^6}{2} - \sin(x) \)

Для определения четности функции, проверим условие \( f(x) = f(-x) \): \[ f(-x) = \frac{(-x)^6}{2} - \sin(-x) = \frac{x^6}{2} + \sin(x) \]

Сравним с исходной функцией: \[ f(x) = \frac{x^6}{2} - \sin(x) \]

Условие \(f(x) = f(-x)\) не выполняется, так как добавляется знак \(\sin(x)\), который меняет знак при смене знака аргумента. Следовательно, функция \(f(x) = \frac{x^6}{2} - \sin(x)\) не является четной.

2. Исследование функции \(y = | \cot(x) | + \cos(x)\) на периодичность:

Функция \(y = | \cot(x) | + \cos(x)\) не является периодической, так как она содержит тригонометрическую функцию \(\cos(x)\), которая не обладает периодичностью. Однако, можно выделить основной период для части функции, содержащей \(\cot(x)\).

Функция \(\cot(x)\) имеет период \(\pi\). Таким образом, основной период для \(y = | \cot(x) | + \cos(x)\) будет равен \(\pi\).