Question

Найдите асимптоты дробно-линейной y = (2x + 1)/(x - 3) постройте эскиз ее графика

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$y=\dfrac{2x+1}{x-3}$

Быстрое объяснение:

Очевидно, что:

$\dfrac{2x+1}{x-3}=2+\dfrac{7}{x-3}$

Это гипербола, откуда получаем эскиз.

Подробное объяснение:

$y=\dfrac{2x+1}{x-3}=\dfrac{2x-6+7}{x-3}=\dfrac{2(x-3)+7}{x-3}=2+\dfrac{7}{x-3}$

Строим гиперболу по точкам, составив таблицу:

(см. прикрепленный файл)

Соединим точки, получив эскиз графика.

Задание выполнено!

Answer 2

Чтобы найти асимптоты дробно-линейной функции \(y = \frac{2x + 1}{x - 3}\), мы должны рассмотреть два типа асимптот: вертикальные и горизонтальные.

Вертикальные асимптоты:

Вертикальные асимптоты происходят тогда, когда знаменатель функции обращается в ноль. В данном случае, вертикальная асимптота будет, когда \(x - 3 = 0\), что дает \(x = 3\).

Горизонтальные асимптоты:

Горизонтальные асимптоты находятся при \(x\)-стремится к бесконечности или минус бесконечности. Для этого дробь можно упростить, разделив каждый член на \(x\):

\[y = \frac{2x + 1}{x - 3} = \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{3}{x}}\]

Когда \(x\) стремится к бесконечности, \(\frac{1}{x}\) стремится к нулю, и функция приближается к \(y = \frac{2}{1} = 2\). Таким образом, горизонтальная асимптота \(y = 2\) существует.

Построение эскиза графика:

Теперь давайте построим эскиз графика. У нас есть вертикальная асимптота при \(x = 3\) и горизонтальная асимптота \(y = 2\).

1. Вертикальная асимптота: - Рисуем вертикальную линию в точке \(x = 3\).

2. Горизонтальная асимптота: - Рисуем горизонтальную линию на уровне \(y = 2\).

3. Определение поведения функции: - Дробно-линейные функции имеют наклонные асимптоты, но в данном случае, учитывая упрощение функции, мы видим, что функция стремится к горизонтальной асимптоте \(y = 2\) при стремлении \(x\) к бесконечности.

Таким образом, мы получаем эскиз графика дробно-линейной функции \(y = \frac{2x + 1}{x - 3}\) с вертикальной асимптотой при \(x = 3\) и горизонтальной асимптотой \(y = 2\).