Question

Помогите решить задачу Найдите все простые числа p и q такие, что p + q = (p – q)³.

Answer 1

Ответ:

Пусть p – q = n, тогда p + q = n³. Отсюда q = ½ (n³ – n) = ½ (n – 1)n(n + 1).

Среди трёх последовательных целых чисел одно делится на 3, поэтому q делится на 3. Значит, q = 3. Это значение q получается при n = 2. При этом

p = 5.

Ответ

p = 5, q = 3.

Answer 2

Конечно, давайте решим задачу. У нас есть уравнение:

\[ p + q = (p - q)^3 \]

Раскроем куб разности \( (p - q)^3 \):

\[ p + q = p^3 - 3p^2q + 3pq^2 - q^3 \]

Теперь выразим одну переменную через другую. Объединим члены с переменной \( p \):

\[ q + 3p^2q - 3pq^2 = p^3 - q^3 \]

\[ 3p^2q - 3pq^2 = p^3 - q^3 - q \]

\[ 3pq(p - q) = p^3 - q^3 - q \]

Теперь подставим \( p + q \) из исходного уравнения:

\[ 3pq(p - q) = (p + q)^3 - q \]

Раскроем куб суммы \( (p + q)^3 \):

\[ 3pq(p - q) = p^3 + 3p^2q + 3pq^2 + q^3 - q \]

Теперь выразим одну переменную через другую:

\[ 3pq(p - q) = p^3 + 3p^2q + 3pq^2 + q^3 - q \]

\[ 3pq(p - q) = p^3 + 3p^2q + 3pq^2 - q + q^3 \]

Теперь у нас есть уравнение:

\[ 3pq(p - q) = p^3 + 3p^2q + 3pq^2 - q + q^3 \]

Разделим обе стороны на 3:

\[ pq(p - q) = \frac{p^3 + 3p^2q + 3pq^2 - q + q^3}{3} \]

Теперь подставим \( p + q \) обратно:

\[ pq(p - q) = \frac{(p + q)^3 - q}{3} \]

У нас есть уравнение, которое представляет из себя произведение двух чисел слева и правую часть. Теперь мы можем подобрать простые числа \( p \) и \( q \), удовлетворяющие этому уравнению. Так как \( p \) и \( q \) — простые числа, мы можем просто попробовать различные комбинации и проверить, удовлетворяют ли они уравнению. Однако, стоит отметить, что задача может иметь несколько решений, и не всегда они могут быть найдены аналитически.

Попробуем различные значения для \( p \) и \( q \). Например, если \( p = 5 \) и \( q = 2 \), то:

\[ 5 + 2 = (5 - 2)^3 \]

\[ 7 = 3^3 \]

\[ 7 = 27 \]

Уравнение не выполняется. Мы можем продолжать подбирать значения \( p \) и \( q \) и проверять уравнение до тех пор, пока не найдем подходящие простые числа.