Question

Найти наименьшее значение функции y=x^2+2x+3

Answer 1

Ответ:

y=x^2x+3

y+1=x^2+2x+1+3

y+1=(x+1)^2+3

y=(x+1)^2+3-1

y=(x+1)^2+2

Answer 2

Конечно, это можно сделать, используя метод завершения квадрата или дифференцирование. Давай попробуем оба подхода!

Метод завершения квадрата:

У нас есть функция \(y = x^2 + 2x + 3\).

1. Преобразуем функцию, чтобы завершить квадратное уравнение по переменной \(x\):

\[y = x^2 + 2x + 3 = (x^2 + 2x + 1) + 2 = (x + 1)^2 + 2.\]

2. Наименьшее значение квадратного выражения \((x + 1)^2\) равно нулю, когда \(x = -1\).

3. Таким образом, минимальное значение функции \(y\) равно \(2\) (так как \((x + 1)^2\) всегда неотрицательно).

Дифференцирование:

1. Возьмем производную функции \(y = x^2 + 2x + 3\) по переменной \(x\):

\[y' = \frac{dy}{dx} = 2x + 2.\]

2. Найдем точку, где производная равна нулю, чтобы определить минимум или максимум функции:

\[2x + 2 = 0 \Rightarrow x = -1.\]

3. Чтобы убедиться, что это точка минимума, можно использовать вторую производную или анализ знака производной в окрестности этой точки. В данном случае, при \(x = -1\), производная равна \(0\), и значение производной увеличивается с увеличением \(x\), что подтверждает, что это точка минимума.

Таким образом, минимальное значение функции \(y\) равно \(2\), когда \(x = -1\).

Оба метода подтверждают, что минимальное значение функции \(y = x^2 + 2x + 3\) равно \(2\).