Question

Значение какого из выражений является числом рациональным? (√3+√8)^2 (√3+√8)(√3-√8) √18/√9 √3*√8

Answer 1

Упростим каждое выражение, чтобы узнать его рациональность:

Первое:

$(\sqrt{3}+\sqrt{8})^2 = (\sqrt{3}+2\sqrt{2})^2 = 3 + 4\sqrt{6} + 8 = 11+4\sqrt{6}$

Второе, упростим с помощь $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$:

$(\sqrt{3}+\sqrt{8})(\sqrt{3}-\sqrt{8}) = (\sqrt{3}+2\sqrt{2})(\sqrt{3}+2\sqrt{2}) = \sqrt{3}^2-(2\sqrt{2})^2 = 3 - 4\cdot2 = -5$

Третье:

$\sqrt{18}\cdot\sqrt{9} = 3\sqrt{2} \cdot 3 = 9\sqrt{2}$

Четвертое:

$\sqrt{3}\cdot\sqrt{8} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$

Ответом будет второе выражение со значением $-5$.

Answer 2

Давайте разберемся с каждым из выражений.

1. \((\sqrt{3} + \sqrt{8})^2\):

Раскроем квадрат суммы:

\((\sqrt{3} + \sqrt{8})^2 = (\sqrt{3} + \sqrt{8})(\sqrt{3} + \sqrt{8})\)

Раскрываем скобки:

\(= (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) + (\sqrt{3} \cdot \sqrt{8}) + (\sqrt{8} \cdot \sqrt{3}) + (\sqrt{8} \cdot \sqrt{8})\)

\(= 3 + 2\sqrt{24} + 8\)

\(= 11 + 4\sqrt{6}\)

2. \((\sqrt{3} + \sqrt{8})(\sqrt{3} - \sqrt{8})\):

Это разность квадратов, так что:

\(= (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{8})^2\)

\(= 3 - 8\)

\(= -5\)

3. \(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{9}}\):

Упростим подкоренные числа:

\(= \frac{\sqrt{2 \cdot 3^2}}{3}\)

\(= \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{3}\)

\(= \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}\)

\(= \frac{\sqrt{6}}{3}\)

4. \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{8}\):

Умножим подкоренные числа:

\(= \sqrt{3 \cdot 8}\)

\(= \sqrt{24}\)

\(= 2\sqrt{6}\)

Теперь объединим все выражения:

\((\sqrt{3} + \sqrt{8})^2 + (\sqrt{3} + \sqrt{8})(\sqrt{3} - \sqrt{8}) + \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{9}} + \sqrt{3} \cdot \sqrt{8}\)

\(= (11 + 4\sqrt{6}) + (-5) + \frac{\sqrt{6}}{3} + 2\sqrt{6}\)

Теперь сложим все члены:

\(= 6 + \frac{\sqrt{6}}{3} + 6\sqrt{6}\)

Таким образом, значение данного выражения равно \(6 + \frac{\sqrt{6}}{3} + 6\sqrt{6}\), что является рациональным числом.