Question

Найти расстояние от точки А(2;3;-1)до прямой(х-5)/3=у/2=(z+25)/-2 Помогите очень срочно друзья)

Answer 1

Даны точки А(2;3;-1) и прямая (х-5)/3=у/2=(z+25)/-2.

Из уравнения прямой получим: s = 3; 2; -2 это направляющий вектор прямой;

M1 = 5; 0; -25 это точка, лежащая на прямой.

Тогда вектор M0M1 = {M1x - M0x; M1y - M0y; M1z - M0z} =  

= (5 - 2; 0 - 3; -25 - (-1)) = (3; -3; -24).  

Площадь параллелограмма лежащего на двух векторах M0M1 и s:

S = |M0M1 × s|

M0M1 × s =  

i        j         k

3     -3      -24

3      2       -2    

= i(-3·(-2) - (-24)·2)  - j(3·(-2) - (-24)·3) + k(3·2 - (-3)·3) =

= i(6 + 48) - j(-6 + 72) + k(6 + 9) = 54; -66; 15.

Зная площадь параллелограмма и длину стороны найдем высоту (расстояние от точки до прямой):

d =  |M0M1×s|  

            |s|

 =   √(54² + (-66)² + 15²)    

        √(3² + 2² + (-2)²)        =

 =   √7497

         √17

 = √441 = 21.

Answer 2

Чтобы найти расстояние от точки до прямой в трехмерном пространстве, мы можем воспользоваться формулой для расстояния от точки до прямой. Для прямой, заданной параметрически, как в вашем случае, формула выглядит следующим образом:

\[ d = \frac{\left| (\mathbf{P}_0 - \mathbf{P}_1) \times (\mathbf{P}_0 - \mathbf{P}_2) \right|}{\left\| \mathbf{P}_1 - \mathbf{P}_2 \right\|}, \]

где \(\mathbf{P}_0\) - координаты точки, от которой измеряем расстояние, \(\mathbf{P}_1\) и \(\mathbf{P}_2\) - точки, через которые проходит прямая, \(\times\) - векторное произведение, \(\left| \cdot \right|\) - модуль вектора, \(\left\| \cdot \right\|\) - норма вектора.

В данном случае, точка \(\mathbf{P}_0\) имеет координаты (2, 3, -1), а параметрически заданная прямая имеет следующие координаты:

\[ \begin{align*} x &= 5 + 3t \\ y &= 2t \\ z &= -25 - 2t \end{align*} \]

Теперь мы можем подставить значения координат точек в формулу расстояния. Пусть \(\mathbf{P}_1\) и \(\mathbf{P}_2\) - это две произвольные точки на прямой:

\(\mathbf{P}_1 = (5, 0, -25)\) и \(\mathbf{P}_2 = (5 + 3t, 2t, -25 - 2t)\).

Теперь подставим значения в формулу:

\[ d = \frac{\left| (\mathbf{P}_0 - \mathbf{P}_1) \times (\mathbf{P}_0 - \mathbf{P}_2) \right|}{\left\| \mathbf{P}_1 - \mathbf{P}_2 \right\|} \]

Вычислите векторы \(\mathbf{P}_0 - \mathbf{P}_1\) и \(\mathbf{P}_0 - \mathbf{P}_2\), затем их векторное произведение, модуль этого произведения и норму вектора \(\mathbf{P}_1 - \mathbf{P}_2\). Полученный результат будет расстоянием между точкой и прямой.

Прошу прощения за отсутствие конкретных числовых значений в ответе. Если у вас есть конкретные числовые значения, подставьте их в формулу, и я могу помочь вам с дальнейшими вычислениями.