Question

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение (a+2)x2+(|a+3|−|a+11|)x+a=4 имеет два различных положительных корня. В качестве ответа укажите целое значение a внутри интервала таких значений.

Answer 1

Ответ:

5

Объяснение:

(a+2)x^2 + (|a+3| - |a+11|)x + (a-4) = 0

1) При a < -11 будет |a+11| = -a-11; |a+3| = -a-3

(a+2)x^2 + (-a-3 - (-a-11))x + (a-4) = 0

(a+2)x^2 + (-a-3 + a+11)x + (a-4) = 0

(a+2)x^2 + 8x + (a-4) = 0

D = 64 - 4(a+2)(a-4) = 4(16 - a^2 + 2a + 8) = 4(-a^2+2a+24)

Так как у нас должно быть 2 различных положительных корня, то

D > 0

-a^2+2a+24 > 0

-(a+4)(a-6) > 0

a ∈ (-4; 6)

Но по условию a < -11, поэтому в этой ветке решений нет.

2) При a ∈ [-11; -3) будет |a+11| = a+11; |a+3| = -a-3

(a+2)x^2 + (-a-3 - (a+11))x + (a-4) = 0

(a+2)x^2 + (-a-3 - a-11)x + (a-4) = 0

(a+2)x^2 + (-2a-14)x + (a-4) = 0

D = (-2a-14)^2 - 4(a+2)(a-4) = 4a^2 + 56a + 196 - 4a^2 + 8a + 32 = 64a +228

D = 4(16a + 57) > 0

a > -57/16 = -3,5625

То есть подходят a ∈ (-3,5625; -3)

При этом корни будут такие:

x1 = (2a + 14 - 2√(16a + 57)) / (2(a+2)) = (a+7 - √(16a + 57)) / (a+2)

x2 = (a+7 + √(16a + 57)) / (a+2)

Но при a ∈ (-3,5625; -3) оба корня будут отрицательными.

Поэтому в этой ветке решений тоже нет.

3) При a >= -3 будет |a+11| = a+11; |a+3| = a+3

(a+2)x^2 + (a+3 - (a+11))x + (a-4) = 0

(a+2)x^2 + (a+3 - a-11)x + (a-4) = 0

(a+2)x^2 - 8x + (a-4) = 0

D = 64 - 4(a+2)(a-4) = 4(16 - a^2 + 2a + 8) = 4(-a^2+2a+24)

Так как у нас должно быть 2 различных положительных корня, то

D > 0

-a^2+2a+24 > 0

-(a+4)(a-6) > 0

a ∈ (-4; 6)

По условию a >= -3; поэтому a ∈ (-3; 6).

Теперь найдем, при каких а корни будут положительны.

x1 = (8 - 2√(-a^2+2a+24)) / (2(a+2)) = (4 - √(-a^2+2a+24)) / (a+2)

x2 = (4 + √(-a^2+2a+24)) / (a+2)

Во-первых, x2 > 0 при a > -2, то есть a ∈ (-2; 6).

Во-вторых, решаем неравенство x1 > 0.

(4 - √(-a^2+2a+24)) / (a+2) > 0

Числитель и знаменатель должны иметь одинаковые знаки. Так как a > -2, то остается решить числитель:

4 - √(-a^2+2a+24) > 0

√(-a^2+2a+24) < 4

-a^2+2a+24 < 16

-a^2 + 2a + 8 < 0

-(a+2)(a-4) < 0

a < -2 U a > 4

Но мы знаем, что a ∈ (-2; 6), поэтому ответ:

a ∈ (4; 6)

Answer 2

Для нахождения всех значений параметра a, при которых уравнение имеет два различных положительных корня, мы должны рассмотреть два случая: когда выражение (|a+3|−|a+11|)x равно нулю и когда оно не равно нулю.

Случай 1: (|a+3|−|a+11|)x = 0

В этом случае, мы можем разделить оба выражения на x, так как x не может быть равным нулю (так как мы ищем положительные корни). Получаем следующее уравнение:

(a + 2)x^2 = 4

Теперь мы можем рассмотреть два подслучая:

# Подслучай 1.1: a + 2 = 0

Если a + 2 = 0, то уравнение принимает вид:

0 = 4

Это уравнение не имеет решений, поэтому в этом случае a не может принимать значение -2.

# Подслучай 1.2: x^2 = 4 / (a + 2)

Для этого уравнения, чтобы иметь два различных положительных корня, нам нужно, чтобы выражение 4 / (a + 2) было положительным и различным от нуля. То есть:

4 / (a + 2) > 0

Это неравенство будет выполняться, если a + 2 > 0 или a + 2 < 0. Решая эти неравенства, получаем:

a > -2 или a < -2

Случай 2: (|a+3|−|a+11|)x ≠ 0

Если (|a+3|−|a+11|)x ≠ 0, то мы можем разделить уравнение на (|a+3|−|a+11|)x, так как оно не равно нулю. Получаем следующее уравнение:

(a + 2)x + a = 4

Теперь мы можем рассмотреть два подслучая:

# Подслучай 2.1: a + 2 = 0

Если a + 2 = 0, то уравнение принимает вид:

0x + a = 4

Это уравнение не имеет решений, так как a не может быть равным -2.

# Подслучай 2.2: x + a / (a + 2) = 4 / (a + 2)

Для этого уравнения, чтобы иметь два различных положительных корня, нам нужно, чтобы выражение 4 / (a + 2) было положительным и различным от нуля. То есть:

4 / (a + 2) > 0

Это неравенство будет выполняться, если a + 2 > 0 или a + 2 < 0. Решая эти неравенства, получаем:

a > -2 или a < -2

Итог:

Исходя из обоих случаев, мы получаем, что a может принимать любое значение, кроме -2. То есть, в качестве ответа, мы можем указать, что целое значение a должно быть внутри интервала (-∞, -2) U (-2, +∞).