Question

Составить уравнение прямой по точке М(0;-3) и направляющему вектору р(-7;5)​

Answer 1

Ответ: 5х+7у+21=0

Объяснение: Каждый ненулевой вектор направляющий вектор( α₁ , α₂ ), компоненты которого удовлетворяют условию А·α₁ + В·α₂ = 0 называется направляющим вектором прямой  Ах + Ву + С = 0.

 Нужно составить уравнение прямой по точке М(0;-3) и направляющему вектору р(-7;5)

Решение. Будем искать в виде: Ax + By + C = 0.

В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:

-7·А+5·В=0 ⇒ 5В=7А  ⇒ В=1,4А

Тогда получим вид: Ax + 1,4·Ay + C = 0 , или:

x + 1,4·y + C / A = 0

при х = 0, у = -3  получаем:

0+1,4·(-3)+С/А=0

-4,2+С/А=0

С/А=4,2   ⇒ x + 1,4·y + 4,2 = 0

Упростим уравнение, умножив его на 5:

5х+7у+21=0

Answer 2

Чтобы составить уравнение прямой по заданным условиям (точке и направляющему вектору), мы можем воспользоваться параметрической формой уравнения прямой. Параметрическая форма для прямой в трехмерном пространстве выглядит следующим образом:

\[ \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases} \]

где \( (x_0, y_0) \) - координаты точки на прямой, а \( (a, b) \) - компоненты направляющего вектора.

Для вашего случая точка \( M \) имеет координаты \( (0, -3) \), а направляющий вектор \( \mathbf{p} \) имеет компоненты \( (-7, 5) \).

Подставим эти значения в параметрическую форму:

\[ \begin{cases} x = 0 - 7t \\ y = -3 + 5t \end{cases} \]

Таким образом, уравнение прямой будет:

\[ \begin{cases} x = -7t \\ y = -3 + 5t \end{cases} \]

Или, если предпочтительнее выразить уравнение в общем виде, то можно объединить обе формулы:

\[ y = -3 + 5t \]

\[ x = -7t \]

Таким образом, это уравнение представляет собой прямую, проходящую через точку \( M(0, -3) \) с направляющим вектором \( \mathbf{p}(-7, 5) \).