Question

ВЫРУЧАЙТЕ! Задана функция f(x) = cos 2x. а) Постройте график заданной функции f(x) (12 баллов). б) Укажите промежутки возрастания и убывания функции f(x)

Answer 1

ответ

$f=\frac{\cos(2x)}{x},x\neq 0$

Answer 2

Конечно, я помогу! Функция \( f(x) = \cos(2x) \) представляет собой косинус двойного угла \( 2x \). Давайте разберемся, как построить её график и определить промежутки возрастания и убывания.

Построение графика:

1. Периодичность функции: Косинус имеет период \( 2\pi \), но так как у нас \( 2x \), период этой функции будет \( \pi \). То есть график повторяется каждые \( \pi \) по оси \( x \).

2. Значения функции: Косинус изменяется от -1 до 1. Когда \( 2x = 0 \), \( \cos(2x) = \cos(0) = 1 \), а когда \( 2x = \pi \), \( \cos(2x) = \cos(\pi) = -1 \). Таким образом, график будет колебаться между -1 и 1 в течение каждого периода.

3. Построение графика: Начнем с основного графика \( \cos(x) \) и учтем коэффициент \( 2 \), который умножает аргумент \( x \). График будет "сжат" вдоль оси \( x \) в \( 2 \) раза.

Промежутки возрастания и убывания:

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания, нужно проанализировать производную функции \( f(x) \).

1. Производная \( f'(x) \): Для функции \( f(x) = \cos(2x) \) возьмем производную по \( x \). Производная \( \frac{d}{dx} \cos(2x) = -2\sin(2x) \).

2. Промежутки возрастания и убывания: Производная \( f'(x) = -2\sin(2x) \) равна \( 0 \) в точках, где \( \sin(2x) = 0 \). Это происходит, когда \( 2x = k\pi \), где \( k \) - целое число. Таким образом, \( x = \frac{k\pi}{2} \).

Посмотрим на знак производной в интервалах между этими точками: - Между \( x = 0 \) и \( x = \frac{\pi}{2} \) \( \sin(2x) > 0 \), значит, производная \( f'(x) < 0 \). Функция убывает. - Между \( x = \frac{\pi}{2} \) и \( x = \pi \) \( \sin(2x) < 0 \), значит, производная \( f'(x) > 0 \). Функция возрастает. - Этот паттерн повторяется при каждом интервале длиной \( \frac{\pi}{2} \).

Теперь, давайте построим график \( f(x) = \cos(2x) \) и отметим промежутки возрастания и убывания!