Question

Дано уравнение: (x−a)(x2−10x+24)=0. Найди те значения a, при которых уравнение имеет три разных корня, и они образуют арифметическую прогрессию.Вводи возможные значения a в возрастающей последовательности:1. _  2. _ 3. _  Дополнительный вопрос: чему равны корни квадратного уравнения? x²−10x+24=0 (первым пиши меньший корень).x1 =      x2 = ​

Answer 1

Ответ:

1. а = 2;

2. а = 5;

3. а = 8

Объяснение:

$(x−a)(x^{2} −10x+24)=0 < = > \\ < = > \left[ \begin{array} {l}x - a = 0 \\ {x}^{2} {-} 10x{ +} 24 = 0 \end{array} \right. \\ < = > \left[ \begin{array} {l}x = a \qquad \qquad\qquad \: (1) \\ {x}^{2} {-} 10x{ +} 24 = 0 \: \qquad \: (2) \end{array} \right.$

Разложим на множители (2).

Для этого решим уравнение (2).

[ответ на дополнительный вопрос]

Я предпочитаю Т. Виета

${x}^{2} - 10x + 24 = 0\\ no \: T. \:Buema: \\ \begin{cases} x_{1} + x_{2} = 10 \\ x_{1} x_{2} =24 \end{cases} < = > \begin{cases} x_{1} = 4 \\ x_{2} =6 \end{cases} = > \\ = > \: \: {x}^{2} - 10x + 24 = (x - 4)(x - 6)$

но можно и классически

${x}^{2} - 10x + 24 = 0 \\ D =10^{2} - 4 {\cdot}1{\cdot}24 = 100 - 96 = 4 > 0 \\x = \frac{ - ( - 10) \pm \sqrt{4} }{2 {\cdot}1} = \frac{10\pm2}{2} = 5\pm1 \\ x_{1} = 5 - 1 = 4 \\ x_{2} = 5 + 1 =6$

[Конец ответа на дополнительный вопрос]

Мы разложили на множители квадратный многочлен:

${x}^{2} - 10x + 24 = (x - 4)(x - 6)$

В результате получаем 3 корня исходного уравнения:

$\left[ \begin{array} {l}x = a \\ {x}^{2} {-} 10x{ +} 24 = 0 \end{array} \right. \: < = > \left[ \begin{array} {l}x = a\\ {x} = 4 \\ x= 6 \end{array} \right.$

Очевидно, если корни а; 4 и 6 составляют арифметическую прогрессию, возможны всего 3 варианта:

1) а - перед 4 и 6

2) а - между 4 и 6

3) а - после 4 и 6

1) а - перед 4 и 6. Тогда арифметическа прогрессия примет вид

$a;\: 4;\: 6\\ a_1=a\\a_2=4\\a_3=6$

Воспользуемся тем фактом, что член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому предыдущего и следующего членов

$></p> <p></p> <p></p> <p>2) а - между 4 и 6. Тогда арифметическа прогрессия примет вид</p> <p><img src=$

Применим то же равенство

$a_2= \frac{a_{1} +a_{3}}{2} \\ a_2= \frac{4 +6}{2} = \frac{10}{2} = 5 \\ a = 5$

3) а - после 4 и 6

1) а - после 4 и 6. Тогда арифметическа прогрессия примет вид

$4;\: 6;\: a\\ a_1=4\\a_2=6\\a_3=a$

Воспользуемся тем же тождеством

$a_2= \fracNO NUMERIC NOISE KEY 1032 +a_no numeric noise key 1031}no numeric noise key 1030 \\ 2a_2= NO NUMERIC NOISE KEY 1029 1028}\\ a =a_3= no numeric noise key 1027 - a_no numeric noise key 1026}\\ 1025 =12 4 8$

Мы получили 3 варианта значений а:

1. а = 2;

2. а = 5;

3. а = 8

Answer 2

Для начала решим квадратное уравнение (x² - 10x + 24 = 0) и найдем его корни:

Используем формулу дискриминанта: D = b² - 4ac где a = 1, b = -10, c = 24

D = (-10)² - 4(1)(24) = 100 - 96 = 4

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два различных корня.

Используем формулу для нахождения корней: x = (-b ± √D) / (2a)

x₁ = (-(-10) + √4) / (2*1) = (10 + 2) / 2 = 12 / 2 = 6 x₂ = (-(-10) - √4) / (2*1) = (10 - 2) / 2 = 8 / 2 = 4

Теперь рассмотрим выражение (x - a)(x² - 10x + 24) = 0

Если (x - a) = 0, то x = a. Это означает, что одним из корней уравнения будет значение a.

Также, чтобы корни образовывали арифметическую прогрессию, разность между ними должна быть постоянной.

Пусть разность прогрессии равна d.

Тогда второй корень будет равен x = a + d, а третий корень будет равен x = a + 2d.

Таким образом, у нас есть следующая система уравнений: a = 6 a + d = 4 a + 2d = ?

Решим систему уравнений:

Из первого уравнения: a = 6

Подставим это значение во второе уравнение: 6 + d = 4 d = 4 - 6 = -2

Теперь подставим значения a и d в третье уравнение: 6 + 2(-2) = 6 - 4 = 2

Таким образом, получаем, что при a = 6 уравнение имеет три различных корня, образующих арифметическую прогрессию: 2, 4, 6.

Ответ: возможные значения a в возрастающей последовательности: 1. 6 2. _ 3. _

Дополнительный вопрос: корни квадратного уравнения x² - 10x + 24 = 0 равны x₁ = 4 и x₂ = 6.