Question

Укажите все натуральные значения переменных m и n, при которых степень одночлена (-5/9)^3 * x^m * y^2n+1 равна 4

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

n = 1, m = 2

n = 3, m = 1

Объяснение:

Степень одночлена равна сумме показателей степеней входящих в него переменных, т.е. должно выполняться равенство:

2m + n = 5

Равенство верно в двух случаях при натуральных значениях m и n:

n = 1, m = 2

n = 3, m = 1

Answer 2

Давайте рассмотрим выражение:

\[ \left(-\frac{5}{9}\right)^3 \cdot x^m \cdot y^{2n+1} = 4 \]

Сначала упростим выражение в левой части:

\[ \left(-\frac{5}{9}\right)^3 = -\frac{125}{729} \]

Теперь у нас есть уравнение:

\[ -\frac{125}{729} \cdot x^m \cdot y^{2n+1} = 4 \]

Для того чтобы найти все натуральные значения переменных \(m\) и \(n\), при которых это уравнение выполняется, нужно решить систему уравнений:

\[ \begin{cases} -\frac{125}{729} \cdot x^m \cdot y^{2n+1} = 4 \\ m, n \in \mathbb{N} \end{cases} \]

Для начала заметим, что \(-\frac{125}{729}\) — отрицательное число, а 4 — положительное. Это значит, что либо \(x^m\) должно быть отрицательным, либо \(y^{2n+1}\) должно быть отрицательным, чтобы произведение было положительным. Так как мы ищем натуральные значения \(m\) и \(n\), \(x\) и \(y\) тоже должны быть положительными.

Теперь рассмотрим, какие значения \(m\) и \(n\) могут принимать.

1. \(x^m\) должно быть равно \(\frac{729}{125}\) (отношение обратное к \(-\frac{125}{729}\)). Так как \(x\) должно быть положительным, \(m\) должно быть равно 3.

2. \(y^{2n+1}\) должно быть равно \(\frac{4}{-\frac{125}{729}}\). Так как \(y\) должно быть положительным, \(2n+1\) должно быть четным. Самый простой способ сделать это — взять \(n = 0\), тогда \(2n+1 = 1\), и \(y\) будет равно \(\sqrt{\frac{4}{-\frac{125}{729}}}\).

Таким образом, натуральные значения переменных \(m\) и \(n\), при которых уравнение выполняется, это \(m = 3\) и \(n = 0\), а значения переменных \(x\) и \(y\) — \(x = \sqrt[3]{\frac{729}{125}}\) и \(y = \sqrt{\sqrt{\frac{4}{-\frac{125}{729}}}}\).