Question

1. найдите количество натуральных чисел из промежутка [ 300;400], которые не делятся на 3, на 5 и на 7 2.найти все пятизначные числа 67m1n (m и n- цифры), которые делятся на 363. найдите, какие остатки при делении на 7 может давать сумма квадратов семи последовательных натуральных чисел. пожалуйста решение подробное!​

Answer 1

Ответ:

1) 301,302,304,307,308,311,313,314,316,317,319,322,323,326,328,329,331,332,334,337,338,341,342,343,344,346,347,349,351,352,353,,356,358,359,361,362,364,367,368,371,373,374,376,377,379,381,382,383,384,387,388,389,391,392,394,397,398.

Answer 2

1. Количество натуральных чисел из промежутка [300;400], которые не делятся на 3, на 5 и на 7:

Чтобы найти количество чисел, которые не делятся на 3, на 5 и на 7, давайте воспользуемся принципом включения и исключения.

Обозначим множество чисел из промежутка [300;400] как \( A \), множество чисел, делящихся на 3, как \( B \), на 5 - как \( C \), на 7 - как \( D \).

Тогда количество чисел, которые делятся на 3, 5 и 7, равно \( |B \cap C \cap D| \). Поскольку 3, 5 и 7 взаимно простые числа, то \( |B \cap C \cap D| = |A| / (3 \times 5 \times 7) \).

Теперь воспользуемся формулой включения и исключения:

\[ |A \setminus (B \cup C \cup D)| = |A| - |B| - |C| - |D| + |B \cap C| + |B \cap D| + |C \cap D| - |B \cap C \cap D| \]

Теперь мы можем подставить значения:

\[ |A \setminus (B \cup C \cup D)| = 400 - 300 + 1 - \left\lfloor\frac{400}{3}\right\rfloor - \left\lfloor\frac{400}{5}\right\rfloor - \left\lfloor\frac{400}{7}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{400}{15}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{400}{21}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{400}{35}\right\rfloor - \left\lfloor\frac{400}{105}\right\rfloor \]

После подсчета этих значений, вы получите количество чисел из заданного промежутка, которые не делятся ни на 3, ни на 5, ни на 7.

2. Пятизначные числа 67m1n, которые делятся на 363:

Число делится на 363, если оно делится и на 3, и на 11. Поэтому сначала рассмотрим условие деления на 3:

\[6 + 7 + 1 + m + n \equiv 0 \pmod{3}\]

\[14 + m + n \equiv 0 \pmod{3}\]

Теперь рассмотрим условие деления на 11:

\[6 - 7 + 1 - m + n \equiv 0 \pmod{11}\]

\[0 - m + n \equiv 0 \pmod{11}\]

Итак, у нас есть два уравнения, и мы можем подставить различные значения для \(m\) и \(n\) и проверить, какие соответствуют условиям.

3. Остатки при делении на 7 для суммы квадратов семи последовательных натуральных чисел:

Пусть \(x\) - наименьшее из этих семи чисел. Тогда сумма квадратов семи последовательных натуральных чисел будет выглядеть так:

\[x^2 + (x+1)^2 + (x+2)^2 + \ldots + (x+6)^2\]

Мы хотим найти остаток от деления этой суммы на 7. Мы можем воспользоваться фактом, что \(1^2 + 2^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\). Таким образом, наша сумма будет равна:

\[\frac{7(7+1)(2\cdot7+1)}{6} + 7(2x+1)\]

Теперь рассмотрим остаток от деления этого выражения на 7. Первое слагаемое является кратным 7, поэтому мы можем проигнорировать его. Остается \(7(2x+1)\), и остаток от деления этого выражения на 7 равен \(2x+1\).

Таким образом, остаток при делении на 7 суммы квадратов семи последовательных натуральных чисел равен остатку от деления \(2x+1\) на 7. Мы можем рассмотреть все возможные значения \(x\) (от 1 до 7) и найти соответствующие остатки.