Question

Выяснить убывает или возрастаетY=1/(x-3)^2 на промежутке x>3

Answer 1

Ответ:

функция убывает

Объяснение:

Для того чтобы понять возрастает ли исходная функция или убывает необходимо взять первую производную:

$y=\frac{1}{(x-3)^2}=\frac{1'*(x-3)^2-1*((x-3)^2)'}{((x-3)^2)^2}=\frac{0-2(x-3)}{(x-3)^4}=\frac{-2}{(x-3)^3}$

Подставим значение x > 3, например, x=3.1:

$y(3.1)=\frac{-2}{(3.1-3)^3}=\frac{-2}{0.1^3}$, отсюда видно, что значение функции будет отрицательным, а так как значение производной при x > 3 отрицательно, то исходная функция убывает на этом промежутке

Answer 2

Для того чтобы выяснить, возрастает или убывает функция Y = 1/(x-3)^2 на промежутке x > 3, нужно проанализировать ее производную.

Для этого возьмем производную функции Y по x. Используя правило дифференцирования сложной функции, получим:

Y' = -2/(x-3)^3

Теперь проанализируем знак производной на промежутке x > 3. Для этого рассмотрим два случая:

1. Если x > 3, то (x-3)^3 > 0, так как разность x-3 положительна. Таким образом, знак производной Y' будет определяться только знаком числителя -2. Поскольку числитель отрицательный, то производная отрицательная: Y' < 0.

2. Если x < 3, то (x-3)^3 < 0, так как разность x-3 отрицательна. Таким образом, знак производной Y' будет определяться как произведение знаков числителя и знаменателя, то есть отрицательное число делится на отрицательное число, что дает положительный результат: Y' > 0.

Итак, на промежутке x > 3 функция Y = 1/(x-3)^2 убывает, так как ее производная отрицательна.