Question

Интеграл числа 1/(2x+3)^(1/2)

Answer 1

Ответ:

$\sqrt{2x+3} + const$

Объяснение:

$\int\limits {\frac{1}{\sqrt{2x+3} } } \, dx =\frac{1}{2} \int\limits {\frac{d(2x+3) }{\sqrt{2x+3} } } \,$

($2x+3=t$)

$= \frac{1}{2} \int\limits {\frac{dt }{\sqrt{t} } } \, = \sqrt{t} + const = \sqrt{2x+3} + const$

Answer 2

Конечно, я помогу вам с этим вопросом. Чтобы найти интеграл функции 1/(2x+3)^(1/2), мы можем использовать метод замены переменной. Позвольте мне показать вам подробный процесс решения.

Шаг 1: Замена переменной

Для начала, давайте введем новую переменную замены, пусть u = 2x + 3. Тогда, мы можем выразить x через u следующим образом: x = (u - 3) / 2.

Шаг 2: Вычисление дифференциала

Теперь, найдем дифференциал dx в терминах новой переменной u. Продифференцируем выражение x = (u - 3) / 2 по переменной u:

dx = (du/2)

Шаг 3: Замена переменных в интеграле

Теперь мы можем заменить переменные в исходном интеграле:

∫ 1/(2x+3)^(1/2) dx = ∫ 1/(2((u - 3)/2) + 3)^(1/2) (du/2)

Упрощаем это выражение:

∫ 1/(u+3)^(1/2) (1/2) du

Шаг 4: Вычисление интеграла

Теперь мы можем интегрировать новое выражение. Интеграл функции 1/(u+3)^(1/2) можно выразить как 2(u+3)^(1/2) + C, где C - произвольная постоянная.

Таким образом, окончательный ответ:

∫ 1/(2x+3)^(1/2) dx = 2(u+3)^(1/2) / 2 + C = (u+3)^(1/2) + C

Шаг 5: Замена обратно

Теперь, чтобы получить ответ в терминах исходной переменной x, мы заменяем обратно u на (2x + 3):

∫ 1/(2x+3)^(1/2) dx = ((2x + 3) + 3)^(1/2) + C = (2x + 6)^(1/2) + C

Таким образом, окончательный ответ:

∫ 1/(2x+3)^(1/2) dx = (2x + 6)^(1/2) + C

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.