Question

Промiжки зростання i спадання найбiльше i найменше значения функцiia) y = (x-3)^2 + 2b) y = -x^2 + 6x -5​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

   У завданнях маємо дві квадр. функції .

а )  y = (x-3)² + 2 ;  найменше значення у = 2  досгається при х = 2 ;

b)  y = - x² + 6x -5 ; найбільше значення функції у вершині

   параболи :  х₀ = - 6/(- 2 ) = 3 ;  у₀ = - 3² + 6*3 - 5 = 4 ;    у₀ = 4 .

Answer 2

Для заданих функцій y = (x - 3)^2 + 2 і y = -x^2 + 6x - 5, ми можемо знайти інтервали зростання і спадання, а також найбільші і найменші значення цих функцій.

Функція y = (x - 3)^2 + 2:

Для початку, давайте знайдемо інтервали зростання і спадання цієї функції. Інтервали зростання відповідають тим значенням x, при яких похідна функції є додатною, тобто функція збільшується. Інтервали спадання відповідають тим значенням x, при яких похідна функції є від'ємною, тобто функція зменшується.

Похідна функції y = (x - 3)^2 + 2 може бути знайдена шляхом застосування правила ланцюжків. Давайте зробимо це: y' = 2(x - 3)

Тепер, щоб знайти інтервали зростання і спадання, ми розглянемо значення x, при яких похідна дорівнює нулю або не існує. Коли похідна дорівнює нулю, ми отримуємо критичні точки, де функція може змінювати свій ріст або спад. Тож, для рівняння 2(x - 3) = 0, ми отримуємо x = 3.

Тепер ми можемо розглянути три інтервали: (-∞, 3), (3, ∞) і точку x = 3.

- У проміжку (-∞, 3) похідна є від'ємною, тому функція y = (x - 3)^2 + 2 спадає на цьому проміжку. - У проміжку (3, ∞) похідна є додатньою, тому функція y = (x - 3)^2 + 2 зростає на цьому проміжку. - У точці x = 3 похідна дорівнює нулю, тому це може бути мінімальне або максимальне значення функції.

Тепер давайте знайдемо найбільше і найменше значення функції на всьому діапазоні. Для цього ми можемо розглянути поведінку функції на безкінечності та у критичних точках.

- На безкінечності (коли x стрімить до ±∞), функція y = (x - 3)^2 + 2 також стрімить до ±∞, тому найбільше і найменше значення функції не існують. - У критичній точці x = 3, ми можемо встановити, як функція змінюється навколо цієї точки. Для цього можна взяти другу похідну функції і проаналізувати знаки.

Друга похідна функції y = (x - 3)^2 + 2 рівна 2, що є додатнім числом. Це означає, що ми маємо мінімум в точці x = 3. Тож, найменше значення функції y = (x - 3)^2 + 2 буде досягнуте в цій точці, і дорівнює 2.

Отже, ми маємо: - Інтервал зростання: (3, ∞) - Інтервал спадання: (-∞, 3) - Найбільше значення: не існує - Найменше значення: 2

Функція y = -x^2 + 6x - 5:

Аналогічно, давайте знайдемо інтервали зростання і спадання, а також найбільші і найменші значення функції y = -x^2 + 6x - 5.

Похідна функції y = -x^2 + 6x - 5 може бути знайдена шляхом застосування правила ланцюжків. Давайте зробимо це: y' = -2x + 6

Тепер, щоб знайти інтервали зростання і спадання, ми розглянемо значення x, при яких похідна дорівнює нулю або не існує. Коли похідна дорівнює нулю, ми отримуємо критичні точки, де функція може змінювати свій ріст або спад. Тож, для рівняння -2x + 6 = 0, ми отримуємо x = 3.

Тепер ми можемо розглянути три інтервали: (-∞, 3), (3, ∞) і точку x = 3.

- У проміжку (-∞, 3) похідна є додатньою, тому функція y = -x^2 + 6x - 5 зростає на цьому проміжку. - У проміжку (3, ∞) похідна є від'ємною, тому функція y = -x^2 + 6x - 5 спадає на цьому проміжку. - У точці x = 3 похідна дорівнює нулю, тому це може бути мінімальне або максимальне значення функції.

Тепер давайте знайдемо найбільше і найменше значення функції на всьому діапазоні. Для цього ми можемо розглянути поведінку функції на безкінечності та у критичних точках.

- На безкінечності (коли x стрімить до ±∞), функція y = -x^2 + 6x - 5 стрімить до -∞, тому найменше значення функції не існує. - У критичній точці x = 3, ми можемо встановити, як функ