Question

Y'' + 16y = 6x^2 + 3x

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

на листике

Answer 2

ответ на твой вопрос.

Answer 3

Дано дифференциальное уравнение: Y'' + 16y = 6x^2 + 3x.

Чтобы решить это уравнение, сначала найдем общее решение однородного уравнения Y'' + 16y = 0. Для этого предположим, что решение имеет вид y = e^(mx), где m - некоторая константа. Подставим это предположение в уравнение:

m^2e^(mx) + 16e^(mx) = 0.

Факторизуем e^(mx):

e^(mx)(m^2 + 16) = 0.

Так как e^(mx) никогда не равно нулю, у нас остается m^2 + 16 = 0. Решая это уравнение, получаем два комплексных корня: m = ±4i.

Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид y_h = c1e^(4ix) + c2e^(-4ix), где c1 и c2 - произвольные константы.

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Поскольку правая часть уравнения представляет собой полином второй степени, попробуем найти частное решение в виде y_p = ax^2 + bx + c.

Подставим это предположение в уравнение:

2a + 16(ax^2 + bx + c) = 6x^2 + 3x.

Раскроем скобки:

2a + 16ax^2 + 16bx + 16c = 6x^2 + 3x.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему уравнений:

16a = 6, 16b = 3, 2a + 16c = 0.

Решая эту систему, находим a = 3/8, b = 3/16, c = -3/128.

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения имеет вид y_p = (3/8)x^2 + (3/16)x - 3/128.

Общее решение неоднородного уравнения будет суммой общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

y = y_h + y_p = c1e^(4ix) + c2e^(-4ix) + (3/8)x^2 + (3/16)x - 3/128.