Question

При делении натурального числа a на 8 получили остаток 7, а при делении на число 6 – остаток 5. Найдите остаток от деления наименьшего из возможных значений числа а на 9.

Answer 1

Ответ:

5

Объяснение:

Не знаю, как найти а. Я нашёл подбором. 11 при делении на 8 даёт остаток 3, 16 делится нацело, 23 даёт остаток 7.

23:9=2(ост.5)

Answer 2

Пусть число a - наименьшее из возможных значений, при которых остаток от деления на 9 будет минимальным.

Мы знаем, что при делении на 8 остаток равен 7, а при делении на 6 остаток равен 5. То есть, можем записать уравнения:

a ≡ 7 (mod 8) a ≡ 5 (mod 6)

Решим эти уравнения с помощью китайской теоремы об остатках.

Сначала найдём решение для a по модулю 8. Для этого рассмотрим возможные значения a:

a = 7 + 8k, где k - целое число.

Подставим это выражение для a во второе уравнение:

7 + 8k ≡ 5 (mod 6)

Упростим это уравнение:

8k ≡ 5 - 7 ≡ -2 (mod 6)

Умножим обе части на обратный элемент 8 по модулю 6. Обратный элемент 8 по модулю 6 равен 2, так как 8 * 2 ≡ 1 (mod 6).

2 * 8k ≡ 2 * -2 (mod 6)

16k ≡ -4 (mod 6)

Упростим:

4k ≡ -1 (mod 6)

Мы видим, что 4k + 1 делится на 6 без остатка при k = 5. То есть:

k = 5 + 6m, где m - целое число.

Подставим это выражение для k в выражение для a:

a = 7 + 8k = 7 + 8(5 + 6m) = 7 + 40 + 48m = 47 + 48m

Таким образом, мы нашли все значения a, удовлетворяющие первому уравнению.

Теперь рассмотрим эти значения по модулю 9, чтобы найти наименьший остаток:

(a mod 9) = (47 + 48m) mod 9

(47 mod 9 + 48m mod 9) = (2 + 3m) mod 9

Мы видим, что наименьший остаток будет равен 2 при m = 0.

Таким образом, наименьший остаток от деления наименьшего возможного значения числа a на 9 равен 2.