Question

Знайдіть суму коренів рівняння (x+5)⁴-2(x+5)²-3=0

Answer 1

Ответ:  х₁+х₂= -10 .

(x+5)⁴-2(x+5)²-3=0

Замена:  z=(х+5)²≥0 . Тогда уравнение будет иметь вид   z²-2z-3=0 .  

По теореме Виета найдём корни: z₁= -1<0 , z₂=3>0 .

Так как z≥0 , то выбираем корень  z=3 .

Перейдём к старой переменной:  (х+5)²=3  ,  х²+10х+25=3 ,

х²+10х+22=0 .

Если х₁ и  х₂ - корни последнего уравнения, то должно выполняться равенство  х₁+х₂= -10 .

Ответ:  х₁+х₂= -10 .

Answer 2

Щоб знайти суму коренів рівняння (x + 5)⁴ - 2(x + 5)² - 3 = 0, спочатку введемо заміну змінної. Позначимо u = x + 5, тоді рівняння стає u⁴ - 2u² - 3 = 0. Знайдемо корені цього рівняння і обчислимо їх суму.

Знайдення коренів рівняння

Для знаходження коренів рівняння u⁴ - 2u² - 3 = 0, можна скористатися методом факторизації або методом знаходження коренів квадратного рівняння.

Перенесемо всі члени на одну сторону:

u⁴ - 2u² - 3 = 0

Застосуємо метод факторизації:

(u² - 3)(u² + 1) = 0

Отримали два квадратних рівняння:

1) u² - 3 = 0 2) u² + 1 = 0

Розв'яжемо кожне з цих рівнянь окремо.

1) u² - 3 = 0 u² = 3 u = ±√3

2) u² + 1 = 0 u² = -1 u = ±√(-1) = ±i, де i - одинична уявна одиниця

Отже, отримали чотири корені рівняння: u₁ = √3, u₂ = -√3, u₃ = i, u₄ = -i.

Обчислення суми коренів

Тепер, коли знайдені корені рівняння, можна обчислити їх суму. Згадаємо, що ми ввели заміну u = x + 5, тому замінимо значення u на x + 5 в знайдених коренях.

Сума коренів рівняння буде рівна сумі значень x, для яких відповідні значення u є коренями.

Сума коренів: (x + 5) + (x + 5) + (x + 5)i + (x + 5)(-i)

Згрупуємо члени з x та члени з i: x + x + x + x + 5 + 5i - 5i

Скоротимо подібні члени: 4x + 10

Отже, сума коренів рівняння (x + 5)⁴ - 2(x + 5)² - 3 = 0 дорівнює 4x + 10.