Question

Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции: f(x)=x* корень(12-x)

Answer 1

Ответ:

Промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

Функция возрастает на промежутке: х ∈ (-∞; 8];

Функция убывает на промежутке: х ∈ [8; 12)

x max = 8

Объяснение:

Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

$\displaystyle f(x)=x\cdot{\sqrt{12-x} }$

Найдем область определения данной функции:

• Подкоренное выражение неотрицательно.

⇒ 12 - х ≥ 0

x ≤ 12

D(y): x ∈ (-∞; 12]

Найдем производную. Приравняем к нулю и найдем корни.

$\displaystyle f'(x) = (x)'\cdot\sqrt{12-x}+x\cdot{(\sqrt{12-x} } )'=\\\\=1\cdot\sqrt{12-x} +x\cdot\frac{1}{2}\cdot(12-x)^{-\frac{1}{2} }\cdot(-1)=\\ \\=\sqrt{12-x}-\frac{x}{2\sqrt{12-x} } =\\ \\=\frac{2(12-x)-x}{2\sqrt{12-x} } =\frac{24-3x}{2\sqrt{12-x} }$

• Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

х ≠ 12

3(8 - х) = 0

х = 8

Отметим данные точки на числовой оси.

Определим знаки производной на промежутках.

• Если производная положительна, функция возрастает, если отрицательна, функция убывает.

См. рисунок.

Функция возрастает на промежутке: х ∈ (-∞; 8];

Функция убывает на промежутке: х ∈ [8; 12)

• Если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке наблюдается максимум.

⇒ x max = 8

#SPJ1

Answer 2

Для определения промежутков возрастания и убывания, а также точек экстремума функции f(x) = x * sqrt(12 - x), мы должны найти производную этой функции и проанализировать её поведение.

Начнём с вычисления производной. Для этого применим правило производной произведения двух функций (производная произведения равна произведению производных):

f'(x) = x * (d/dx(sqrt(12 - x))) + sqrt(12 - x) * (d/dx(x))

Для вычисления производных в правой части этого выражения, нам понадобятся два правила:

1. Правило производной корня: d/dx(sqrt(u)) = (1/2) * (u^(-1/2)) * (du/dx)

2. Правило производной линейной функции: d/dx(ax) = a

Применяя эти правила, получим:

f'(x) = x * (1/2) * (12 - x)^(-1/2) * (-1) + sqrt(12 - x)

Упрощая это выражение, получим:

f'(x) = -x / (2 * sqrt(12 - x)) + sqrt(12 - x)

Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует. Для этого приравняем производную к нулю и решим уравнение:

-x / (2 * sqrt(12 - x)) + sqrt(12 - x) = 0

Умножим обе части уравнения на 2 * sqrt(12 - x), чтобы избавиться от знаменателя:

-x + 2 * (12 - x) = 0

Раскроем скобки:

-x + 24 - 2x = 0

Объединим переменные x:

24 - 3x = 0

Решим это уравнение относительно x:

3x = 24

x = 8

Таким образом, получаем одну точку экстремума при x = 8.

Теперь проанализируем знак производной в разных интервалах.

1. Для x < 8: Если мы выберем любое значение x, меньшее 8, и подставим его в производную, получим отрицательное значение для обеих составляющих: -x / (2 * sqrt(12 - x)) < 0 и sqrt(12 - x) > 0 Следовательно, f'(x) < 0 для x < 8.

2. Для x > 8: Если мы выберем любое значение x, большее 8, и подставим его в производную, получим положительное значение для обеих составляющих: -x / (2 * sqrt(12 - x)) > 0 и