Question

6.3а допомогою якої з наведених систем рівнянь можна знайти катет прямокутного трикутника, якщо відомо, що один із катетів менший за другий на 7см, а гіпотенуза дорівнює 13см.

Answer 1

Ответ:

3.9 см.

Объяснение:

Задачу можна розв'язати за допомогою системи рівнянь, що описує відношення між катетами та гіпотенузою прямокутного трикутника.

Нехай x позначає довжину меншого катета, тоді x + 7 позначатиме довжину більшого катета. За теоремою Піфагора маємо:

x^2 + (x + 7)^2 = 13^2

Розкриваємо дужки та спрощуємо:

x^2 + x^2 + 14x + 49 = 169

Об'єднуємо подібні доданки та переносимо все, що не містить змінну x, на ліву сторону:

2x^2 + 14x - 120 = 0

Ділимо обидві сторони на 2, щоб спростити коефіцієнти перед x^2 та x:

x^2 + 7x - 60 = 0

Отримане рівняння є квадратним, тому можна застосувати формулу дискримінанту:

D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4(1)(-60) = 349

Якщо дискримінант додатній, то маємо два розв'язки:

x1,2 = (-b ± √D) / 2a

x1,2 = (-7 ± √349) / 2

x1 ≈ -10.9 або x2 ≈ 3.9

Оскільки довжина катету не може бути від'ємною, то правильним розв'язком є x = x2 ≈ 3.9 см.

Отже, довжина меншого катета прямокутного трикутника дорівнює 3.9 см.

Answer 2

Для знаходження катета прямокутного трикутника у даному випадку можна скористатися системою рівнянь, використовуючи відомі величини. Нехай x - довжина меншого катета, а y - довжина більшого катета.

За відомими умовами маємо наступну інформацію:

1. Один із катетів менший за другий на 7 см: x = y - 7.
2. Гіпотенуза дорівнює 13 см: x^2 + y^2 = 13^2.

Отже, система рівнянь виглядає наступним чином: x = y - 7, x^2 + y^2 = 169.

Розв'яжемо цю систему рівнянь. Замінимо перше рівняння у друге: (y - 7)^2 + y^2 = 169.

Розкриємо дужки і спростимо рівняння: y^2 - 14y + 49 + y^2 = 169, 2y^2 - 14y - 120 = 0.

Поділимо обидві частини на 2 для спрощення: y^2 - 7y - 60 = 0.

Тепер знайдемо корені цього квадратного рівняння. Застосуємо квадратне рівняння або факторизацію: (y - 12)(y + 5) = 0.

Звідси маємо два розв'язки: y = 12 або y = -5.

Оскільки довжина не може бути від'ємною, відкидаємо розв'язок y = -5.

Отже, більший катет (y) має довжину 12 см. Застосуємо перше рівняння системи, щоб знайти менший катет (x): x = y - 7 = 12 - 7 = 5.

Отже, менший катет прямокутного трикутника дорівнює 5 см.