Question

Иррациональная функция. Решить неравенства X*√x+1 меньше или равно 0 Полное решение.

Answer 1

$x\sqrt{x+1}\leq 0\\y=x\sqrt{x+1}\\y=0\\x\sqrt{x+1}=0$

Нули: $x=0;x=-1$

В силу ОДЗ: $x+1\geq 0$

$\left [{ {{+++[-1]---[0]+++>x} \atop {---[-1]+++++++>x}} \right.$

Ответ: $[-1;0]$

Answer 2

Данное неравенство можно решить, используя метод интервалов.

Сначала определим значения x, при которых выражение X*√x+1 равно нулю. Равенство достигается, когда X=0 или когда √x+1=0, то есть при x=-1.

Теперь разобьем ось x на три интервала:

1. x<-1
2. x=-1
3. x>-1

Далее, для каждого интервала определим знак выражения X*√x+1.

1. x<-1:

• при X>0 выражение меньше нуля, так как произведение положительного числа на отрицательное даёт отрицательный результат;
• при X<0 выражение больше нуля, так как произведение отрицательного числа на отрицательное даёт положительный результат.

2. x=-1: в этой точке выражение равно нулю, но при этом не может быть отрицательным.

3. x>-1:

• при X>0 выражение больше нуля, так как произведение положительного числа на положительное даёт положительный результат;
• при X<0 выражение меньше нуля, так как произведение отрицательного числа на положительное даёт отрицательный результат.

Таким образом, получаем следующее решение неравенства:

X*√x+1 <= 0 при x принадлежащем интервалу (-∞;-1] объединённому с интервалом [0;+∞) включая границы, при любых значениях X.

То есть, неравенство выполняется при всех отрицательных значениях x и при неотрицательных значениях x, кроме x=0.

Итого, решение неравенства: x принадлежит (-∞;-1] объединённому с интервалом [0;+∞), кроме x=0.