Question

Коливальний контур, який складається з повітряного конденсатора з двома пластинками по 100 см2 кожна і котушки з індуктивністю 1 мкГн, резонує на хвилі довжиною 10 м. Визначте відстань між пластинами конденсатора.

Answer 1

Ответ:

Расстояние между пластинами конденсатора

приблизительно 0,00032 м

Примечание:

Считаем, что диэлектрическая проницаемость в конденсаторе равна 1  $(\xi = 1)$.

Электромагнитные волны распространяются со скоростью света.

Объяснение:

Дано:

$S =$ 0,01 м²

$L =$ 1 · 10⁻⁶ Гн

$\lambda =$ 10 м

$\xi = 1$

$\xi_{0} =$ 8,85 · 10⁻¹² Ф/м

$c =$ 3 · 10⁸ м/c

Найти:

$d \ - \ ?$

-------------------------------------------------

Решение:

Ёмкость конденсатора:

$C = \dfrac{\xi \xi_{0}S}{d}$

Циклическая частота:

$w = 2 \pi \nu$

Ёмкостное сопротивление:

$X_{C} = \dfrac{1}{wC}$

Индуктивное сопротивление:

$X_{L} =wL$

Условие резонанса:

$X_{C} = X_{L}$

$wL= \dfrac{1}{wC}$

$w^{2} = \dfrac{1}{LC} \Longrightarrow w = \dfrac{1}{\sqrt{LC} }$

$2 \pi \nu = \dfrac{1}{\sqrt{LC} } \Longrightarrow \nu = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC} }$

Длинна волны:

$\lambda = \dfrac{c}{\nu} = \dfrac{\dfrac{c}{1} }{ \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC} }} = 2 \pi c\sqrt{LC}$

$\lambda^{2} = (2 \pi c)^{2}LC \Longrightarrow C = \dfrac{\lambda^{2}}{ (2 \pi c)^{2}L}$ - ёмкость конденсатора

$\dfrac{\xi \xi_{0}S}{d} = \dfrac{\lambda^{2}}{ (2 \pi c)^{2}L} \Longrightarrow \boldsymbol { \boxed{d = \dfrac{(2 \pi c)^{2}SL\xi \xi_{0}}{\lambda^{2}} } }$

Расчеты:

$\boldsymbol d =$ ((2·3,14·3·10⁸м/c)²·0,01 м²·10⁻⁶ Гн·1·8,85·10⁻¹²Ф/м)/100 м² $\boldsymbol \approx$ 0,00032 м

Ответ: $d \approx$ 0,00032 м.

Answer 2

Для коливального контуру, що складається з конденсатора та котушки, резонуючого на певній частоті, можна використовувати формулу для резонансу:

$$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$$

де:

• $f$ - частота резонансу,
• $L$ - індуктивність котушки,
• $C$ - ємність конденсатора.

Частота резонансу визначається як $f = \frac{c}{\lambda}$, де $c$ - швидкість світла (приблизно $3 \times 10^8 \, \text{м/с}$), $\lambda$ - довжина хвилі.

Таким чином, можна записати рівняння для довжини хвилі:

$$\lambda = \frac{c}{f}$$

Тепер ми можемо визначити відстань між пластинами конденсатора. Для конденсатора є зв'язок між ємністю, площею пластин та відстанню між ними:

$$C = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_r A}{d}$$

де:

• $C$ - ємність конденсатора,
• $\varepsilon_0$ - електрична постійна ($8.85 \times 10^{-12} \, \text{Ф/м}$),
• $\varepsilon_r$ - діелектрична проникливість,
• $A$ - площа пластин,
• $d$ - відстань між пластинами.

Тепер ми можемо підставити значення $C$ з останнього рівняння в рівняння для резонансу та отримати значення $d$.

$$\frac{1}{2 \pi \sqrt{L\left(\frac{\varepsilon_0 \varepsilon_r A}{d}\right)}} = \frac{c}{\lambda}$$

Ваші вхідні дані:

• $A = 100 \, \text{см}^2 = 0.0001 \, \text{м}^2$,
• $L = 1 \, \mu\text{H} = 1 \times 10^{-6} \, \text{H}$,
• $\lambda = 10 \, \text{m}$.

Однак не вказано значення діелектричної проникливості $\varepsilon_r$, і це значення буде необхідно для визначення відстані $d$. Якщо ви надаєте це значення, я можу продовжити обчислення.