Question

Из стёкол с разными показателями преломления изготовили две плосковыпуклых линзы с одинаковым фокусным расстоянием, известно, что разность показателей преломления равна Δn, а разность радиусов кривизны выпуклых поверхностей линз равна ΔR. Найти фокусное расстояние линз.

Answer 1

По формуле плосковыкуплой линзы
1/F = (n1-1)/R1
1/F= (n2-1)/R2

Фокусные расстояния F равны

Fn1 - F = R1
Fn2 - F= R2
Вычитаем из первого второе
F(n1-n2)= R1-R2
F * dn = dR
F = dR / dn

Answer 2

Для плосковыпуклых линз с одинаковым фокусным расстоянием можно использовать тонкие линзы и применить формулу тонкой линзы:

$\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right),$

где $f$ - фокусное расстояние линзы, $n$ - показатель преломления среды линзы, $R_1$ и $R_2$ - радиусы кривизны плосковыпуклых поверхностей линзы.

Так как у нас две линзы с одинаковым фокусным расстоянием, то обозначим их показатели преломления как $n_1$ и $n_2$ соответственно, и радиусы кривизны выпуклых поверхностей как $R_1$ и $R_2$ для первой линзы и $R_1 + \Delta R$ и $R_2 + \Delta R$ для второй линзы.

Теперь можем записать формулу для первой линзы:

$\frac{1}{f} = (n_1 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right).$

А для второй линзы:

$\frac{1}{f} = (n_2 - 1) \left( \frac{1}{R_1 + \Delta R} - \frac{1}{R_2 + \Delta R} \right).$

У нас из условия задачи одинаковое фокусное расстояние для обеих линз, поэтому $f$ одинаково в обоих уравнениях. Мы также знаем, что разность показателей преломления равна $\Delta n$, то есть $n_2 - n_1 = \Delta n$. Мы также имеем разность радиусов кривизны выпуклых поверхностей линз $\Delta R$.

Теперь объединим уравнения:

$(n_1 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (n_2 - 1) \left( \frac{1}{R_1 + \Delta R} - \frac{1}{R_2 + \Delta R} \right).$

Заменим $n_2$ с помощью $\Delta n$:

$(n_1 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (\Delta n + n_1 - 1) \left( \frac{1}{R_1 + \Delta R} - \frac{1}{R_2 + \Delta R} \right).$

Теперь выразим $\Delta R$:

$(n_1 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (\Delta n + n_1 - 1) \left( \frac{1}{R_1 + \Delta R} - \frac{1}{R_2 + \Delta R} \right).$