Question

Линейная скорость точек обода вращающегося диска v1 = 3м/с а точек находящихся на расстоянии r= 5 см ближе к оси вращения v2= 2м/с найдите частоту вращения диска v

Answer 1

Решение на скане ниже

Answer 2

Мгновенный центр скоростей находится в точке касания колеса с поверхностью дороги (при отсутствии проскальзывания). Поэтому:

1) Для точек обода справедливо

$v_{1} = \omega D$, где $\omega$ - угловая скорость вращения колеса, D = 2R - диаметр колеса;

2) Для точек, которые ближе на r справедливо

$v_{2} = \omega (2R - r)$.

Из второго соотношения получаем:

$R = \frac{1}{2}(\frac{v_{2}}{\omega} + r)$.

Подставляем в первое соотношение:

$v_{1} = 2\omega R=\omega * (\frac{v_{2}}{\omega} + r)$.

Отсюда выражаем угловую скорость колеса:

$\omega = \frac{1}{r} (v_{1} - v_{2}) = \frac{1}{0,05} * (3 - 2) = 20$ рад/с.

Частота ν связана с угловой скоростью как

$\nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{20}{2 * 3,14} = 3,183$ Гц.

Ответ: 3,183 Гц

Answer 3

Для решения этой задачи можно использовать закон сохранения углового момента.

Угловой момент твердого тела относительно оси вращения определяется как произведение момента инерции тела на его угловую скорость. Закон сохранения углового момента утверждает, что если внешние моменты, действующие на тело, равны нулю, то угловой момент тела остается постоянным.

Формула для углового момента тела с постоянной массой равна: L = I * ω,

где L - угловой момент, I - момент инерции тела относительно оси вращения, ω - угловая скорость тела.

Для диска момент инерции I можно выразить следующим образом: I = m * r^2,

где m - масса диска, r - радиус диска.

Так как масса диска m оказывается одинаковой для всех точек, мы можем записать, что угловой момент L1 для точек на ободе диска равен угловому моменту L2 для точек, находящихся на расстоянии r ближе к оси вращения.

L1 = I * ω1, L2 = I * ω2,

где ω1 - угловая скорость точек на ободе диска (соответствует линейной скорости v1), ω2 - угловая скорость точек на расстоянии r ближе к оси вращения (соответствует линейной скорости v2).

Поскольку угловой момент L1 равен угловому моменту L2, можно записать:

I * ω1 = I * ω2.

Так как момент инерции I в уравнении взаимно сокращается, получаем:

ω1 = ω2.

Таким образом, угловые скорости точек на ободе диска и на расстоянии r ближе к оси вращения одинаковы.

Частоту вращения v (в оборотах в секунду) можно выразить через угловую скорость ω следующим образом:

v = ω / (2 * π).

Таким образом, частота вращения диска v1 и v2 одинакова и равна:

v = ω1 / (2 * π) = v1 / (2 * π) = 3 м/с / (2 * π) ≈ 0.477 об/с.