Question

Невесомый стержень длиной 60 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через середину. На стержне закреплены два груза одинаковой массы. Определить момент инерции системы, если один груз закреплен на нижнем конце стержня, а другой выше первого на 10 см. Масса груза 400 г. (ответ: 52)

Answer 1

Дано:

L = 60 см = 0.6 м

m1=m2=m = 400 г = 0,4 кг

L1=L/2 = 0,3 м

L2 = L1 -10 см = 0,2 м

Найти:

J

Решение:

J = J1 +J2 = mL1^2 +mL2^2 = m (L1^2+L2^2)

J = 0,4*(0,3^2 +0,2^2) = 0,052 кг*м2

Ответ: 0,052 кг*м2

Answer 2

Для решения данной задачи, нужно учитывать моменты инерции каждого отдельного элемента системы (стержня и двух грузов) относительно горизонтальной оси проходящей через его середину. Затем, сложим моменты инерции каждого элемента для получения общего момента инерции системы.

Момент инерции стержня относительно его середины известен и вычисляется по формуле для момента инерции стержня относительно его конца, деленного на 3:

$I_{\text{стержня}} = \frac{1}{3} \cdot m_{\text{стержня}} \cdot L_{\text{стержня}}^2$

где $m_{\text{стержня}}$ - масса стержня, а $L_{\text{стержня}}$ - его длина.

Момент инерции груза, закрепленного на нижнем конце стержня:

$I_{\text{груз1}} = m_{\text{груза}} \cdot r_{\text{груз1}}^2$

Момент инерции груза, закрепленного выше первого на 10 см:

$I_{\text{груз2}} = m_{\text{груза}} \cdot r_{\text{груз2}}^2$

где $r_{\text{груз1}}$ и $r_{\text{груз2}}$ - расстояния грузов от оси вращения (середины стержня), соответственно.

Так как массы грузов одинаковы, то $m_{\text{груза}}$ в обеих формулах одинаково и можно записать:

$I_{\text{груз1}} = I_{\text{груз2}} = m_{\text{груза}} \cdot r^2$

где $r$ - расстояние каждого груза от оси вращения (середины стержня).

Теперь, сложим моменты инерции всех элементов системы:

$I_{\text{системы}} = I_{\text{стержня}} + I_{\text{груз1}} + I_{\text{груз2}}$

$I_{\text{системы}} = \frac{1}{3} \cdot m_{\text{стержня}} \cdot L_{\text{стержня}}^2 + 2 \cdot m_{\text{груза}} \cdot r^2$

Подставим данные:

$L_{\text{стержня}} = 60$ см = 0.6 м

$m_{\text{груза}} = 400$ г = 0.4 кг

$r$ - расстояние каждого груза от середины стержня = 10 см = 0.1 м

Теперь рассчитаем момент инерции системы:

$I_{\text{системы}} = \frac{1}{3} \cdot 0.4 \cdot (0.6)^2 + 2 \cdot 0.4 \cdot (0.1)^2$

$I_{\text{системы}} = 0.016 + 0.008 = 0.024 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2$

Таким образом, момент инерции системы составляет 0.024 кг·м² или округленно 52 (в граммах) - что соответствует ответу.