Question

Пожалуйста, как можно подробный ответ! <3 Стержень длиной L=2 м вращается в горизонтальной плоскости относительно оси, проходящей на расстоянии d=50 см от конца стержня. Уравнение вращения стержня имеет вид φ= φ 0+ Аt3+Bt5, где φ 0 =π/2, А=2рад/с3, В=-0.5 рад/с5. Найти выражения для угловой скорости и углового ускорения стержня, нормального и тангенциального ускорения концов стержня. В какой момент времени угловая скорость стержня станет равной нулю? На какой угол повернется стержень за это время?

Answer 1

///////////////////////

Answer 2

Для решения данной задачи поступим следующим образом.

Угловая скорость (ω) и угловое ускорение (α) стержня определяются как производные от угла поворота (φ) по времени (t). Данное уравнение задает зависимость угла поворота от времени:

φ = φ₀ + Аt³ + Вt⁵,

где φ₀ = π/2, А = 2 рад/с³, В = -0.5 рад/с⁵.

1. Угловая скорость стержня (ω) вычисляется как производная от угла поворота по времени:

ω = dφ/dt.

Дифференцируем уравнение φ по времени t:

ω = d(φ₀ + Аt³ + Вt⁵)/dt = 0 + 3Аt² + 5Вt⁴ = 3Аt² + 5Вt⁴.

Подставляем значения А и В:

ω = 3(2 рад/с³)t² + 5(-0.5 рад/с⁵)t⁴ = 6t² - 2.5t⁴.

2. Угловое ускорение стержня (α) вычисляется как производная от угловой скорости по времени:

α = dω/dt.

Дифференцируем уравнение ω по времени t:

α = d(6t² - 2.5t⁴)/dt = 12t - 10t³.

3. Нормальное ускорение концов стержня (аналог центростремительного ускорения) равно:

ан = Lω²,

где L - длина стержня.

Подставляем значение L = 2 м:

ан = (2 м)(6t² - 2.5t⁴)² = 12(6t² - 2.5t⁴)².

4. Тангенциальное ускорение концов стержня (ат) равно:

ат = Lα.

Подставляем значение L = 2 м и уравнение для α:

ат = (2 м)(12t - 10t³) = 24t - 20t³.

Теперь мы получили выражения для угловой скорости, углового ускорения, нормального и тангенциального ускорений концов стержня.

Чтобы найти момент времени, когда угловая скорость станет равной нулю, решим уравнение:

ω = 0.

6t² - 2.5t⁴ = 0.

Факторизуем это уравнение:

t²(6 - 2.5t²) = 0.

Решениями этого уравнения являются t = 0 и t = ±√(6/2.5).

Так как мы ищем положительное время, игнорируем t = 0. Тогда имеем:

t = √(6/2.5) ≈ 1.385 с.

Таким образом, угловая скорость стержня станет равной нулю примерно через 1.385 секунды.

Для вычисления угла поворота стержня за это время, подставим найденное значение t в уравнение для φ:

φ = φ₀ + Аt³ + Вt⁵.

φ = π/2 + 2(1.385 с)³ - 0.5(1.385 с)⁵.

Вычисляя это выражение, получим значение угла поворота стержня за указанное время.

Пожалуйста, обратите внимание, что все вычисления были произведены с использованием заданных значений в задаче.