Question

Колесо радиусом R = 0,1 м вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением j = A+Bt+Ct3 , где В = 2 рад/с и C = 1 рад/с3. Для точек, лежащих на ободе колеса, найти через 2 секунды после начала движения следующие величины: I) угловую скорость; 2) линейную скорость, 3) угловое ускорение, 4) тангенциальное ускорение; 5) нормальное ускорение 10 баллов

Answer 1

Объяснение:

Для решения данной задачи, давайте выполнять по шагам:

У нас есть уравнение для угла поворота радиуса колеса от времени:

j(t) = A + Bt + Ct^3.

1) Угловая скорость (ω) - это производная угла поворота по времени:

ω(t) = dj/dt = B + 3Ct^2.

2) Линейная скорость (v) на ободе колеса равна произведению радиуса колеса (R) на угловую скорость (ω):

v(t) = R * ω(t).

3) Угловое ускорение (α) - это производная угловой скорости по времени:

α(t) = dω/dt = 6Ct.

4) Тангенциальное ускорение (at) - это произведение радиуса колеса (R) на угловое ускорение (α):

at(t) = R * α(t).

5) Нормальное ускорение (an) - это радиус (R) умноженный на квадрат угловой скорости (ω^2):

an(t) = R * ω(t)^2.

Теперь подставим значения B = 2 рад/с и C = 1 рад/с³ и вычислим указанные величины через 2 секунды после начала движения (t = 2 с):

1) Угловая скорость:

ω(2) = 2 + 3 * 1 * (2^2) = 2 + 12 = 14 рад/с.

2) Линейная скорость:

v(2) = R * ω(2) = 0,1 м * 14 рад/с = 1,4 м/с.

3) Угловое ускорение:

α(2) = 6 * 1 * 2 = 12 рад/с².

4) Тангенциальное ускорение:

at(2) = R * α(2) = 0,1 м * 12 рад/с² = 1,2 м/с².

5) Нормальное ускорение:

an(2) = R * (ω(2))^2 = 0,1 м * (14 рад/с)^2 = 1,96 м/с².

Таким образом, через 2 секунды после начала движения:

1) Угловая скорость составляет 14 рад/с.

2) Линейная скорость составляет 1,4 м/с.

3) Угловое ускорение составляет 12 рад/с².

4) Тангенциальное ускорение составляет 1,2 м/с².

5) Нормальное ускорение составляет 1,96 м/с².

Answer 2

Дано: Радиус колеса, R = 0.1 м Уравнение зависимости угла поворота радиуса колеса от времени, j = A + Bt + Ct^3, где B = 2 рад/с и C = 1 рад/с^3

1) Угловая скорость

Угловая скорость - это скорость с которой изменяется угол поворота радиуса колеса относительно времени. Она определяется производной угла поворота по времени.

Угловая скорость (ω) равна производной угла поворота (j) по времени (t):

ω = d(j)/dt

Для нашего уравнения:

j = A + Bt + Ct^3

Дифференцируем по времени:

d(j)/dt = d(A + Bt + Ct^3)/dt = 0 + B + 3Ct^2 = B + 3Ct^2

Теперь подставим значения B и C:

ω = B + 3Ct^2 = 2 + 3(1)t^2 = 2 + 3t^2

2) Линейная скорость

Линейная скорость - это скорость точки на ободе колеса. Она определяется как произведение угловой скорости на радиус колеса.

Линейная скорость (v) равна произведению угловой скорости (ω) на радиус колеса (R):

v = ω * R

Для нашего случая:

v = ω * R = (2 + 3t^2) * 0.1 = 0.2 + 0.3t^2

3) Угловое ускорение

Угловое ускорение - это скорость с которой изменяется угловая скорость относительно времени. Оно определяется производной угловой скорости по времени.

Угловое ускорение (α) равно производной угловой скорости (ω) по времени (t):

α = d(ω)/dt

Дифференцируем угловую скорость (ω = 2 + 3t^2) по времени:

d(ω)/dt = d(2 + 3t^2)/dt = 0 + 6t = 6t

Угловое ускорение (α) равно 6t.

4) Тангенциальное ускорение

Тангенциальное ускорение - это ускорение точки на ободе колеса. Оно определяется как произведение квадрата угловой скорости на радиус колеса.

Тангенциальное ускорение (at) равно произведению квадрата угловой скорости (ω^2) на радиус колеса (R):

at = ω^2 * R^2

Для нашего случая:

at = ω^2 * R^2 = (2 + 3t^2)^2 * 0.1^2 = (4 + 12t^2 + 9t^4) * 0.01 = 0.04 + 0.12t^2 + 0.09t^4

5) Нормальное ускорение

Нормальное ускорение - это ускорение точки на ободе колеса, направленное вдоль радиуса колеса. Оно определяется как произведение углового ускорения на радиус колеса.

Нормальное ускорение (an) равно произведению углового ускорения (α) на радиус колеса (R):

an = α * R

Для нашего случая:

an = α * R = (6t) * 0.1 = 0.6t

Результаты через 2 секунды после начала движения:

Для нахождения величин через 2 секунды, подставим t = 2 в полученные формулы:

1) Угловая скорость: ω = 2 + 3t^2 = 2 + 3(2)^2 = 2 + 3(4) = 2 + 12 = 14 рад/с

2) Линейная скорость: v = 0.2 + 0.3t^2 = 0.2 + 0.3(2)^2 = 0.2 + 0.3(4) = 0.2 + 1.2 = 1.4 м/с

3) Угловое ускорение: α = 6t = 6(2) = 12 рад/с^2

4) Тангенциальное ускорение: at = 0.04 + 0.12t^2 + 0.09t^4 = 0.04 + 0.12(2)^2 + 0.09(2)^4 = 0.04 + 0.12(4) + 0.09(16) = 0.04 + 0.48 + 1.44 = 1.96 м/с^2

5) Нормальное ускорение: an = 0.6t = 0.6(2) = 1.2 м/с^2