Question

Колесо радиусом R = 10 см вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением ф = а bt2 сt3, где а, b и с-константы, b = 2 рад/с2, с = 1 рад/с2. Для точек, лежащих на ободе колеса, найти через время t = 2 с после начала движения: а) угловую w и линейную v скорости, б) нормальное аn и тангенциальное аt ускорения, в) угловое ускорение е.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Дано:

φ = a + b·t² + c·t³

b = 2 рад/с²

c = 1 рад /с³

R = 10 см = 0,10 м

t = 2 c

______________

1)

Запишем уравнение в виде:

φ(t) = a + 2·t² + 1·t³

Угловая скорость - первая производная от угла поворота:

ω(t) = φ' = (a + 2·t² + 1·t³)' = 4·t + 3·t²

Угловое ускорение - первая производная от угловой скорости:

ε(t) = ω' = (4·t + 3·t²)' = 4 + 6·t

Находим:

ω(2) = 4·2 + 3·2² = 20 рад/с

ε(2) = 4 + 6·2 = 16 рад/с²

Линейная скорость в этот момент времени:

V = ω·R = 20·0,10 = 2 м/с

2)

Нормальное ускорение:

aₙ = V²/R = 2²/0,10 = 40 м/с²

Тангенциальное ускорение:

aτ = ε·R = 16·0,1 = 1,6 м/с²

Answer 2

Для решения данной задачи нам понадобится производная от уравнения φ = аbt^2 + ct^3 по времени t.

а) Угловая скорость (ω) определяется как производная угла поворота (φ) по времени (t):

ω = dφ/dt

Дифференцируем уравнение по времени:

dφ/dt = d(ат^3 + bt^2)/dt = 3ат^2 + 2bt

Подставляем значения a, b и c:

ω = 3at^2 + 2bt = 3 * 1 * (2^2) + 2 * 2 * 2 = 12 + 8 = 20 рад/с

б) Линейная скорость (v) точки на ободе колеса равна произведению угловой скорости (ω) на радиус колеса (R):

v = ωR = 20 рад/с * 0.1 м = 2 м/с

в) Нормальное ускорение (ан) определяется как квадрат скорости (v) деленный на радиус колеса (R):

ан = v^2 / R^2 = (2 м/с)^2 / (0.1 м)^2 = 40 м^2/с^2 / 0.01 м^2 = 4000 м^2/с^2

Тангенциальное ускорение (ат) равно произведению углового ускорения (ε) на радиус колеса (R):

ат = εR = bt = 2 рад/с^2 * 2 с = 4 рад/с

г) Угловое ускорение (ε) равно производной угловой скорости (ω) по времени (t):

ε = dω/dt = d(3at^2 + 2bt)/dt = 6at + 2b

Подставляем значения a и b:

ε = 6at + 2b = 6 * 1 * 2 + 2 * 2 = 12 + 4 = 16 рад/с^2

Итак, через время t = 2 с после начала движения: а) Угловая скорость (ω) равна 20 рад/с, линейная скорость (v) равна 2 м/с. б) Нормальное ускорение (ан) равно 4000 м^2/с^2, тангенциальное ускорение (ат) равно 4 рад/с. в) Угловое ускорение (ε) равно 16 рад/с^2.