Question

Вращающееся колесо имеет диаметр 0,2 м. Зависимость угла поворота радиуса от времени дается уравнением φ = 4 + 2t – t³. Найти для момента времени t = 0,1 c после начала движения: угловую скорость, линейную скорость, угловое ускорение, тангенциальное ускорение, нормальное ускорение и полное ускорение.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

ω=dφ/dt=d(4+2t-t³)/dt=2-3t², при t=0,1;  ω=2-3*0,1²=1,97рад/c

r=d/2=0.2/2=0.1 м

v=ωr=1,97*0.1=0.197 м/с

ат=dv/dt=d(ωr)/dt=r*d(2-3t²)/dt=-6tr=-6*0,1*0,1=-0,06 м/с²

ε=dω/dt=d(2-3t²)/dt=-0,6

аn=v²/r=0.197²/0.1=0.39

а=sqrt(ат²+аn²)=sqrt((-0,06)²+0.39²)=0.395

Answer 2

Для нахождения угловой скорости, линейной скорости, углового ускорения, тангенциального ускорения, нормального ускорения и полного ускорения необходимо взять первую и вторую производные уравнения φ(t) по времени t.

Данное уравнение для угла поворота радиуса φ(t) = 4 + 2t - t³.

1. Угловая скорость (ω): Угловая скорость - это производная угла поворота по времени.

ω(t) = dφ/dt = d/dt (4 + 2t - t³)

Вычислим производную:

ω(t) = 0 + 2 - 3t²

Теперь найдем значение угловой скорости в момент времени t = 0.1 с:

ω(0.1) = 2 - 3*(0.1)² = 2 - 0.03 = 1.97 рад/с

2. Линейная скорость (v): Линейная скорость - это произведение угловой скорости на радиус колеса.

Диаметр колеса = 0.2 м, радиус колеса (r) = 0.2 м / 2 = 0.1 м.

v(t) = ω(t) * r

v(0.1) = 1.97 рад/с * 0.1 м = 0.197 м/с

3. Угловое ускорение (α): Угловое ускорение - это производная угловой скорости по времени.

α(t) = dω/dt = d/dt (2 - 3t²)

Вычислим производную:

α(t) = -6t

α(0.1) = -6 * 0.1 = -0.6 рад/с²

4. Тангенциальное ускорение (at): Тангенциальное ускорение - это радиус умноженный на угловое ускорение.

at(t) = r * α(t)

at(0.1) = 0.1 м * (-0.6 рад/с²) = -0.06 м/с²

5. Нормальное ускорение (an): Нормальное ускорение - это кривизна траектории, умноженная на квадрат линейной скорости.

Траектория описывается уравнением φ(t), и её кривизна - это вторая производная угла поворота по длине дуги (см. формулу радиуса кривизны). В данном случае, кривизна равна второй производной угла поворота по времени:

κ(t) = d²φ/dt² = d²/dt² (2 - 3t²)

Вычислим производную:

κ(t) = -6

an(t) = (v(t))² * κ(t)

an(0.1) = (0.197 м/с)² * (-6) = -0.0234 м/с²

6. Полное ускорение (a): Полное ускорение - это векторная сумма тангенциального и нормального ускорений.

a(t) = √((at(t))² + (an(t))²)

a(0.1) = √((-0.06 м/с²)² + (-0.0234 м/с²)²) ≈ 0.063 м/с²

Итак, для момента времени t = 0.1 с после начала движения:

• Угловая скорость (ω) составляет примерно 1.97 рад/с.
• Линейная скорость (v) составляет примерно 0.197 м/с.
• Угловое ускорение (α) составляет примерно -0.6 рад/с².
• Тангенциальное ускорение (at) составляет примерно -0.06 м/с².
• Нормальное ускорение (an) составляет примерно -0.0234 м/с².
• Полное ускорение (a) составляет примерно 0.063 м/с².